Напомним некоторые определения и результаты.
Композиция 
отображений 
и 
- это результат последовательного применения отображения , а затем (но в некоторых книгах принят обратный порядок).
Отображения 
множества 
в себя называются его преобразованиями, а биективные преобразования множества называются его перестановками. Преобразование a называется обратимым, если у него есть обратное (обозначается: 
), а это в точности означает, что оно является биекцией.
Говорят, что преобразования a и b коммутируют или являются перестановочными, если результат их композиции не зависит от порядка, т.е. 
.
Циклическая перестановка – это перестановка, граф которой является одним циклом.
Циклические перестановки часто называют просто циклами.
Очевидно, циклическая перестановка переставляет элементы, которые соответствуют вершинам графа перестановки, находящимся на цикле, эти элементы являются подвижными элементами. Все другие элементы под действием перестановки остаются на своих местах, они называются неподвижными элементами.
Мы доказали, что любую перестановку можно представить как композицию циклических перестановок таких, что они коммутируют, поскольку имеют попарно непересекающиеся множества подвижных элементов. В этом случае говорят также, что перестановка разлагается в композицию циклических. Более того, такое разложение определено однозначно. Это позволяет дать следующее определение.
Если перестановка разлагается в композицию циклов длин 
, то говорят, что она имеет тип 
. (Циклы длины 1 соответствуют неподвижным точкам и не учитываются.)
Порядком перестановки 
называется такое наименьшее натуральное число 
, что 
id (здесь id – тождественная перестановка).
Задачи (те, которые со звёздочкой, – более сложные):
Задачи 1-3 сделать к контрольной, задачи 4-7 сделать к лекции.
1. Найти (привести пример) некоммутирующих перестановок множества из 3-х элементов.
2. Решить уравнения в отображениях, т.е. найти все его решения 
(некоторые их этих примеров мы делали в классе, другие полезно сделать для тренировки):
а) 
б) 
в) 
г) 
(в пунктах а) и б) - отображение 
в себя,
в пунктах в) и г) - отображение 
в себя.)
3. Мы выяснили, что решение уравнения в отображениях 
( и 
заданы, - неизвестное, которое надо найти) с обратимым преобразованием даётся формулой 
(значит, кстати, это решение существует и единственно). А какой формулой задаётся решение уравнения 
с обратимым преобразованием ? (Надо вывести формулу с полным обоснованием.)
4. Как найти порядок перестановки, зная её тип? (Заодно докажите, что порядок любой перестановки определён, т.е. некоторая натуральная степень любой перестановки будет тождественной перестановкой.)
5. Рассмотрим все перестановки некоторого конечного множества. Найдётся ли такое натуральное число , что id для любой перестановки ? (Здесь важно, что одно и то же для всех .)
6*. Сколько всего имеется перестановок 
-элементного множества? Тот же вопрос для количества всех преобразований -элементного множества.
7*. Укажите простую формулу для числа (не обязательно наименьшего) из задачи № 5 (в зависимости от числа элементов множества).