Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом простых итераций с точностью до 0.001.




 

Основные теоретические сведения:

При использовании метода итераций уравнение преобразуют к виду

Предположим, что на интервале определен единственный корень этого уравнения ξ.

Алгоритм метода итераций состоит в следующем:

На первом шаге возьмем произвольное значение и вычислим .

На втором шаге вычислим и т.д.

В результате получится рекуррентная последовательность: ,

n=1,2,3…

Если эта последовательность сходящаяся, т.е. существует, то переходя к пределу в равенстве , и предполагая функцию

Или т.е. ξ является корнем уравнения.

Геометрически метод итерации иллюстрируется на рис.1 (возрастающая функция) и на рис. 2 (убывающая функция).

 

 

Теорема

Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения . Тогда, если существует такое, что , при всех , то:

Процесс итерации , N=1,2…, n, … сходится независимо от начального значения .

Предельное значение является единственным корнем уравнения .

Замечание

Скорость стремления это скорость геометрической прогрессии. Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом простых итераций с точностью до 0.001.

 

Решение: Найдем приближенное значение корней графически. Построим графики функций y1=x и y2=cosx.

 

X 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9  
Y1 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9  
Y2 0,877583 0,825336 0,764842 0,696707 0,62161 0,540302
Y -0,37758 -0,22534 -0,06484 0,103293 0,27839 0,459698

 

 

Y1=x;

Y2=cos(x).

 

Из графика видно, что уравнение имеет один корень. Корень уравнения лежит в промежутке [0.5; 1].

Чтобы уточнить корень методом простых итераций, приведем уравнение к виду:

.

Функцию будем искать из соотношения:

 

,

 

считая, что Ƭ=2/(M+m), где

m=min|f’(x)|; на промежутке [0,5;1]

M=max|f ’(x)|; на промежутке [0,5;1]

Находим:

f(x)=x-cosx;

 

f’(x)=1+sinx;

 

 

Таблица значений производной f’(x)=1+sinxна промежутке [0,5;1]

 

X 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9  
f '(x) 1,479426 1,564642 1,644218 1,717356 1,783327 1,841471

 

На промежутке [0,5; 1] возрастает, что видно из таблицы значений производной f ‘(x)=1+sin(x) поэтому

; M=f'(1)=1,841471; m=f’(0,5)=1,4794255; при .

Получаем Ƭ=0,60224706, тогда

 

.

 

За начальное приближение возьмем , все остальные приближения будем определять из равенства

.

Точность вычисления можно оценить из соотношения

,

Где x - точное значение корня а

Для нахождения значения L находим . Значения располагаем в таблице

=1-0,60224706(1+sin(x))

L=0,1090203

Вычисления удобно располагать в таблице:

 

 

  0,5 0,727398 0,10902
  0,727398 0,739147 0,057699
  0,739147 0,739085 0,009775
  0,739085 0,739085 0,03427

 

Ответ: x=0,739085;

 

3. Используя метод Эйлера – Коши, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию на отрезке [0.2; 1.2] с шагом . Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

 

Основные теоретические сведения:

Заменим интеграл в правой части (3) по формуле левого прямоугольника, получим . Отсюда следует основная формула метода Эйлера:

(4)

Метод Эйлера является самым простым методом интегрирования ОДУ, но и не самым грубым.

Если на плоскости переменных точки , соединить ломаной, то получится ломаная Эйлера и она является приближением к интегральной кривой .

Этот метод естественным образом распространяется на системы ОДУ.

Сформулируем задачу Коши для системы ОДУ:

(5)

Зафиксируем значения аргумента

Теперь рекуррентная формула метода Эйлера получает вид:

 

Решение:

Используем формулу

,

,

.

Вычисления удобно располагать в таблице:

 

 
  0,2 0,25 0,366727 0,036672737 0,400920592 0,0400921 0,0383824
  0,3 0,288382 0,40221 0,040220968 0,441709528 0,044171 0,04219596
  0,4 0,330578 0,443199 0,044319867 0,488434741 0,0488435 0,04658167
  0,5 0,37716 0,49014 0,049014014 0,541579615 0,054158 0,05158599
  0,6 0,428746 0,543519 0,054351888 0,601669405 0,0601669 0,05725941
  0,7 0,486005 0,603862 0,060386168 0,6692744 0,0669274 0,0636568
  0,8 0,549662 0,67174 0,067174046 0,745013315 0,0745013 0,07083769
  0,9 0,6205 0,747776 0,07477757 0,829556929 0,0829557 0,07886663
    0,699367 0,83264 0,083264008 0,923631991 0,0923632 0,0878136
  1,1 0,78718 0,927062 0,092706239 1,028025413 0,1028025 0,09775439
  1,2 0,884935 1,031832 0,103183172 0,918040761 0,0918041 0,09749362

Решения дают значения и () (первые три столбца таблицы).

 

Ответ:

  0,2 0,25
  0,3 0,288382
  0,4 0,330578
  0,5 0,37716
  0,6 0,428746
  0,7 0,486005
  0,8 0,549662
  0,9 0,6205
    0,699367
  1,1 0,78718
  1,2 0,884935

 

4. Используя метод Рунге – Кутта, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения удовлетворяющего начальному условию на отрезке [0;1] с шагом . Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.

Основные теоретические сведения:

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка состоит в том, что состоит из четырех слагаемых:

,

,

,

,

.

Каждое из них находится по своей формуле:

Теперь находим

Отметим, что метод Рунге-Кутта 4-го порядка является одним из самых распространенных методом интегрирования ОДУ в космонавтике. Его точность вполне удовлетворяет запросы практики.

 

Решение:

Значения , где , определятся по формулам

,

,

,

,

,

.

 

Вычисления удобно располагать в таблице:

 

    0,1 0,097881 0,097924 0,095632 0,097874
0,1 0,097874 0,099122 0,096578 0,096627 0,09397 0,096584
0,2 0,194457 0,096569 0,093715 0,093768 0,090858 0,093732
0,3 0,28819 0,092582 0,089548 0,089599 0,086563 0,089573
0,4 0,377763 0,087524 0,084442 0,084489 0,081452 0,084473
0,5 0,462236 0,081827 0,078824 0,078862 0,075942 0,078857
0,6 0,541093 0,075936 0,073123 0,073151 0,070452 0,073156
0,7 0,614248 0,070265 0,067738 0,067754 0,065367 0,067769
0,8 0,682018 0,065172 0,063013 0,063019 0,06102 0,063043
0,9 0,74506 0,060961 0,059241 0,059239 0,057698 0,05927
  0,80433 0,057892 0,05668 0,056674 0,055661 0,05671

 

Окончательные значения и записаны в отдельной таблице:

 

 

Ответ:

 

   
0,1 0,097874
0,2 0,194457
0,3 0,28819
0,4 0,377763
0,5 0,462236
0,6 0,541093
0,7 0,614248
0,8 0,682018
0,9 0,74506
  0,80433

 

 

Заключение

 

После проделанных вычислений в задании 1 и 2, видим, что заданная точность при нахождении корней нелинейных уравнений была достигнута.

В задании 3 решение дифференциального уравнение было получено методом Эйлера-Коши, составлена сравнительная таблица значений искомой функции.

В задании 4 решение дифференциального уравнение было получено методом Рунге-Кутта, составлена сравнительная таблица значений искомой функции.

 

Список литературы

 

1. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Оникс 21 век, 2005. – 635 с.

2. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Оникс 21 век, 2005. – 400 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М.

Кобельков – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008. – 432 с.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-21 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: