Вывод формул для нормальных напряжений в поперечных сечениях




Тема 7

Расчет прочности и жесткости простых балок.

 

Лекция №9

9.1 Основные гипотезы. Расчетная модель стержня.

9.2 Вывод формул для нормальных напряжений в поперечных сечениях

9.3 Связь между изгибающим моментом и кривизной элемента стержня.

9.4 Чистый плоский изгиб, нормальные напряжения.

 

Основные гипотезы. Расчетная модель стержня.

Рассмотрим задачу определения нормальных напряжений в произвольной точке К поперечного сечения прямого стержня в общем случае его нагружения (рис. 9.1). Наряду с напряжение на площадках параллельных оси стержня развиваются напряжения . Однако опыт показывает, что на основной части длины стержня эти напряжения, как правило, бывают значительно меньше напряжений . Поэтому в расчетной модели стержня пренебрегаем влиянием напряжений на деформацию элемента, т.е. в формуле обобщенного закона Гука для получаем:

(9.1)

 

Рис. 9.1 Напряжения малы по сравнению с

Рис. 9.2 Иллюстрация к гипотезе плоских сечений

Допущение (9.1) называют гипотезой о ненадавливании продольных волокон:

волокна стержня, параллельные его оси, испытывают деформацию растяжения – сжатия в продольном направлении и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении.

Вторая важнейшая гипотеза о характере деформирования модели стержня это гипотеза плоских сечений (рис. 9.2 ):

поперечные сечения балки, плоские до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными искривленной оси балки после деформации.

Это положение позволяет рассматривать поперечное сечение стержня как бесконечно тонкое плоское тело (жесткая пластика), имеющее в отношении перемещений конечное число степеней свободы. На рис.9.3, а-в показаны три характерных перемещения сечения (с координатой x): продольное поступательное перемещение и два поворота на углы .

Рис. 9.3 Три независимых перемещения плоского сечения и перемещение точки К от поворота на угол

На рис. 9.3, г показана проекция сечения, повернутого на угол при взгляде на сечение вдоль оси z. Произвольная точка К, имеющая координату y >0, получит отрицательное перемещение (), так как это перемещение противоположно оси x. Суммарное перемещение произвольной точки К определится по формуле:

(9.2)

Формула (9.2) есть математическое выражение гипотезы плоских сечений. На рис. 9.4, а представлена модель стержня, иллюстрирующая гипотезу ненадавливания продольных волокон и гипотезу плоских сечений.

Рис. 9.4 Модель стержня

Модель представляет набор жестких пластинок – «поперечных сечений», пространство между которыми заполнено «продольными волокнами», условно изображенными в виде упругих пружин. Деформация растяжения – сжатия продольных волокон происходит за счет относительного перемещения и поворота соседних сечений (рис 9.4, б).

Вывод формул для нормальных напряжений в поперечных сечениях

 

Пусть в рассматриваемом сечении известны усилия: . Выразим через них напряжения . С учетом формул (9.1), (9.2), (3.6) получим:

(9.3)

Обозначим для данного сечения постоянные:

; ; . (9.4)

Перепишем (9.3) с учетом обозначений (9.4)

(9.5)

Формула (9.5) показывает, что изменяется по закону плоскости, определяемой тремя константами: . Для определения констант необходимо потребовать, чтобы приводились к трем силовым факторам (см. формулы 1.2)

(9.6)

Формулы (9.6) следуют из рис. 9.4

Рис. 9.4 Напряжения в поперечном сечении распределены по линейному закону

Подставляем последовательно выражение для напряжений(9.5) в формулы (9.6). В результате получим:

      (9.7)

С учетом выражений для геометрических характеристик поперечных сечений будем иметь:

; ; .   (9.8)

В уравнениях (9.8) введены следующие обозначения: площадь и статические моменты площади относительно осей z и y

A= ; ; ; (9.9)

осевые и центробежный моменты инерции

; ; . (9.10)

Будем считать, что оси z,y главные центральные оси, тогда

. (9.11)

В результате система (9.8) распадается на три независимых уравнения, из которых находим:

  (9.12)

Подстановка выражений (9.12) в формулу (9.5) дает общую формулу для нормальных напряжений

y+ z (9.13)

Плоскости z-x, y-x, содержащие ось стержня и одну из главных осей сечения, называются главными плоскостями изгиба стержня.

В формуле (9.13) растягивающая продольная сила N положительна, изгибающие моменты также положительны, если они в точке, принадлежащей первой четверти осей координат (где z>0,y>0), вызывают растягивающие напряжения (см.рис.9.4).

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-30 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: