погрешности
Приборы могут нормироваться по разным видам погрешностей. Для того чтобы заранее оценивать погрешность, которую вносит данное средство измерения (прибор) в конечный результат, пользуются так называемыми нормированными значениями погрешности. Под нормированными значениями понимают погрешности, являющиеся предельными для данного типа средства измерения.
Обобщенной метрологической характеристикой средств измерения является класс точности, который определяет допустимые пределы всех погрешностей, а также все другие свойства, влияющие на точность средств измерений. Чаще всего встречаются три типа классов точности.
Класс точности прибора задан в виде относительной погрешности d:
. (1)
Тогда предел допускаемой приборной погрешности (максимальная приборная погрешность) равен
. (2)
Данный вид класса точности указывают на приборе внутри кружочка, например.
Класс точности прибора задан в виде приведенной погрешности g:
, (3)
где xN – нормирующее значение измеряемой величины, которое равно пределу измерения 
для приборов с нулевой отметкой на краю шкалы. Если же нулевая отметка находится посерединешкалы, то нормирующее значение 
равно протяженности диапазона измерений. Например, для амперметра со шкалой от –30 до +60А величина 
А.
Предел допускаемой приборной погрешности (максимальная приборная погрешность) равен
. (4).
Этот вид класса точности изображают на приборе числом без изображения кружочка или подчеркивания, например, просто 1,5.
На приборах с резко неравномерной шкалой класс точности указывается в долях от длины шкалы и обозначается числом над уголком:
Класс точности задан в виде погрешности,
определяемой двумя числами (a/b) (своеобразная форма
относительной погрешности):
. (5)
Тогда предел допускаемой приборной погрешности (максимальная приборная погрешность) равен
. (6)
Этот вид класса точности указывают на приборе в виде дроби, например 0,02/0,01.
Предельные приборные (инструментальные) погрешности 
определяют лишь так называемые основные погрешности. В общем случае инструментальные погрешности зависят как от измеряемых величин (на одном диапазоне измерений прибора одна погрешность, на другом диапазоне измерения прибора – другая), так и от условий проведения измерений (рабочие условия могут заметно отличаться от нормальных, например, температура выходит за пределы (20 ± 5) оС, относительная влажность вне предела 30–80 % и т. д.). В ответственных физических экспериментах правильный учет инструментальных погрешностей составляет отдельную задачу измерения.
В таблице приборов в качестве максимальной приборной погрешности указываютт один из видов приведенных выше пределов допускаемой приборной погрешности. Например:
| № | Наименование прибора | Фабричный № | Тип прибора или система | Класс точности | Пределы измерения | Цена деления | Максимальная приборная погрешность |
| Вольтметр | магнитоэлектрическая | 1,0 | (0… …200) В | 2 В | 2 В | ||
2. Погрешность косвенных измерений
При косвенном измерении физической величины ее значение вычисляется по определенной формуле через величины, получаемые в результате прямых измерений.
Пусть некоторая физическая величина f является функцией величин 
, которые определяются прямыми измерениями:
. (7)
Допустим также, что распределены по нормальному закону (закону Гаусса) со среднеквадратичными отклонениями (СКО) 
(обычно для случайных погрешностей это выполняется). Тогда, как доказано в теории ошибок, 
также распределена по закону Гаусса с СКО, равным
(8)
Здесь 
– частная производная функции 
по 
, т.е. производная, при вычислении которой все остальные аргументы функции, кроме (т. е. 
), считаются постоянными. Аналогичный смысл имеют частные производные по
Наилучшим значением величины f при косвенном измерении является 
, где 
– средние значения величин 
В случае, когда формула 
содержит лишь знаки умножения (и деления) величин 
в произвольных степенях: 
(здесь 
– постоянные величины), формула для погрешности косвенного измерения выглядит особенно просто:
(9)
Предположим, что оценивается величина гравитационной силы взаимодействия двух небесных тел с массами 
и 
. Массы тел найдены с погрешностями 
, 
. Тогда среднее значение гравитационной силы находится по формуле
, (10а)
а погрешность этой оценки силы вычисляется по формуле
. (10б)
Эта формула учитывает тот факт, что при вычислении силы наверняка используется значение гравитационной постоянной 
, которое приводится в простых таблицах физических постоянных. Между тем эта постоянная измерена на настоящий момент с большей точностью, чем это представлено в таблицах,
а именно:
, (11)
т. е. используемое значение величины 
содержит систематическую погрешность порядка 
. Это обстоятельство и учитывает формула (10б).
3. Представление результатов измерений
Результаты измерений приводятся в таблицах измерений и графиках. В таблицы измерений записываются результаты прямых измерений, а также результаты промежуточных вычислений. Для всех величин указываются соответствующие размерности. Таблица измерений в обязательном порядке имеет последний, итоговый столбец, где приводятся результаты измерений с учетом погрешностей. При этом соблюдаются правила округления результатов измерений.
Окончательные результаты измерений приводятся также в выводах по лабораторной работе с указанием погрешности измерений.
При представлении результатов измерений следует руководствоваться следующими правилами округления числовых значений физических величин.
1. Погрешность результата измерения округляется до одной значащей цифры, если первая значащая цифра погрешности равна 3 и более.
2. Погрешность результата измерения округляется до двух значащих цифр, если первая значащая цифра погрешности1 или 2.
3. Среднее значение результата измерения округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение погрешности.
4. Округление производится лишь в окончательном ответе (в по-следнем, итоговом столбце таблиц измерений), а все предварительные вычисления проводят с одной-двумя запасными значащими цифрами.
Результат измерения одной и той же физической величины может быть представлен в различном виде в зависимости от значения погрешности измерений:
, 
, 
.
В первой и второй записях результата измерений последняя цифра в среднем значении физической величины («6» в первой записи, «7» – во второй записи) оказывается сомнительной, а остальные цифры являются достоверными. В третьей записи результата измерений сомнительными являются уже две цифры в среднем значениифизической величины («7» и «4»).
4. Установление зависимостей физических величин
Когда устанавливается зависимость одной величины от другой и сравнивается с теоретически ожидаемой зависимостью, то обычной является практика построения линейных зависимостей. Одна из причин применения этого правила лежит в нашем восприятии: различить две близкие по форме кривые линии весьма непросто, а прямая линия легко «узнается» среди других линий.
Рассмотрим случай, когда погрешность имеет только величина y. На практике этот случай встречается довольно часто. Более общий случай требует усложнения процедуры обработки данных.
Пусть теоретическая модель предсказывает линейную зависимость. Задача состоит в том, чтобы «через» экспериментальные точки провести наилучшим образом прямую линию и сравнить с теоретически ожидаемой зависимостью.
Пусть искомая наилучшая прямая имеет вид
, (12)
где угловой коэффициент (тангенс угла наклона) 
и величина смещения 
подлежат определению с некоторыми среднеквадратичными погрешностями 
и 
.
Метод наименьших квадратов – один из стандартных методов математической статистики. В этом методе наилучшие значения параметров прямой и находятся из условия минимума суммы квадратов величин отклонений 
:
. (13)
Метод минимизации суммы квадратов отклонений, предложенный еще Лежандром в 1806 г. сводится к решению системы уравнений
, (14)
. (15)
Решение системы уравнений несложно. Результаты получаются следующие.
· наилучшая прямая проходит через центр тяжести всех экспериментальных точек, т.е. через точку с координатами:
, 
. (16)
· параметры a и b наилучшей прямой равны
, 
, 
. (17)
Математическая статистика дает также среднеквадратичные погрешности в определении параметров a и b:
, 
(18)
Если согласно теоретической модели ожидаемая прямая проходит через начало координат, т. е.
, (19)
то наилучшее значение углового коэффициента 
и его среднеквадратичная погрешность 
определяются соотношениями
, 
. (20)
Приведенные формулы не требуют собственно построения графика. Они дают строгий аналитический способ статистической обработки экспериментальных данных.
Существует упрощенный способ оценки параметров наилучшей прямой по данным, представленным на графике, который работает тем лучше, чем больше имеется экспериментальных точек на графике (более 15–20 точек).
Для определения погрешностей , и поступим следующим образом. «Рабочий участок» оси абсцисс (участок, на котором расположены экспериментальные точки) разбиваем на три равные части и в дальнейшем не будем обращать внимание на среднюю ее часть.
Поворачиваем наилучшую прямую линию вокруг центра тяжести 
таким образом, чтобы на левом участке выше прямой оказалось вдвое больше экспериментальных точек, чем под ней, а на правом участке – наоборот. Затем поворачиваем прямую линию таким образом, чтобы на левом участке ниже прямой оказалось вдвое больше экспериментальных точек, чем над ней, а на правом участке – наоборот. Обозначим разницу в угловых коэффициентах через 
. Тогда
. (21)
Теперь смещаем наилучшую прямую вниз параллельно самой себе таким образом, чтобы над ней было вдвое больше точек, чем под ней. Затем смещаем прямую вверх параллельно самой себе таким образом, чтобы под ней было вдвое больше точек, чем над ней. Обозначим разницу в величине смещения через 
. Тогда
. (22)
Если согласно теоретической модели ожидаемая прямая проходит через начало координат (19), то «рабочий участок» оси абсцисс разбиваем также на три равные части и в дальнейшем не будем обращать внимание на первую – левую, ближнюю к началу координат, ее часть.
Поворачиваем наилучшую прямую линию вокруг начала координат таким образом, чтобы над ней (т. е. над второй и третьей частями «рабочего участка») выше прямой оказалось вдвое больше экспериментальных точек, чем под ней. Затем поворачиваем прямую линию таким образом, чтобы под ней оказалось вдвое больше экспериментальных точек, чем над ней. Обозначим разницу в угловых коэффициентах через 
. Тогда
. (23)
Применение этих несложных правил дает оценки величин погрешностей , и , вполне удовлетворительные при выполнении учебных лабораторных работ.
Литература
1.Анализ, обработка и представление результатов измерения физических величин: Лаб. практикум / В.Н. Холявко и др. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. – 54 с.
2.Механика и термодинамика: Лабораторный практикум. Вводное занятие / В. Г. Дубровский и др. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005.
3.Лабораторные занятия по физике: Учеб. пособие / Л.Л. Гольдин,
Ф.Ф. Игошин, С.М. Козел и др. – М.: Наука, 1983. – 704 с.
4. Зайдель А.Н. Погрешности измерений физических величин. – Л.: Наука, 1985.
5. Сквайрс Дж. Практическая физика. – М.: МИР, 1971. – 246 с.
6. Худсон Д. Статистика для физиков. – М.: Мир,1967. – 243 с.
Лабораторная работа № 10
ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
МЕТОДОМ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Цель работы – получить экспериментально семейство эквипотенциальных поверхностей и силовых линий методом моделирования электрических полей электрическими токами, протекающими по проводящей среде между парами электродов – аналогов заряженных тел, и качественно сравнить их с ожидаемыми теоретически семействами; найти величины напряженности электрического поля в нескольких точках.
Описание метода и установки
Пусть имеются два заряженных тела, например два точечных заряда (+ q) и (– q) (рис. 1). Тогда, как известно, в окружающем тела пространстве создается электростатическое поле, характеризующееся напряженностью поля 
и потенциалом 
. Картина силовых и потен-циальных линий качественно изображена на рис. 1.
Если теперь эти заряженные тела окружить проводящей средой, например, просто погрузив их в ванну 1 с электролитом (рис. 2), то по этой среде потечет электрический ток.
Рис. 1 Рис. 2
При непрерывном возобновлении исходных зарядов путем подключения этих тел (которые в дальнейшем будут называться электродами 2) к внешнему источнику ток будет течь непрерывно.
Опыт и теория показывают, что между плотностью тока j и напряженностью электрического поля Е существует связь j = s Е. Это соотношение называется законом Ома в дифференциальной форме. Здесь
s – удельная электропроводность электролита (величина, обратная удельному сопротивлению); величина плотности тока 
численно равна току, протекающему через поперечное сечение единичной площади.
В силу справедливости закона Ома в дифференциальной форме силовые линии и линии электрического тока в ванне с электролитом совпадают. При этом линиям равного потенциала – эквипотенциальным линиям (линии получаются при пересечении эквипотенциальных поверхностей с плоскостью ванны) соответствуют линии – геометрические места точек, между которыми отсутствует напряжение.
Отсутствие напряжения между эквипотенциальными точками, т. е. принадлежность их к одной и той же эквипотенциальной линии, легко обнаружить вольтметром, если соединить его с зондами 3 (рис. 2) в виде проводящих штырьков, погруженных в исследуемые точки в электролите.
Таким образом, электрическое поле, создаваемое заряженными телами, моделируется электрическими токами, протекающими по электролиту между электродами – аналогами заряженных тел.
В данной работе в качестве электролита используется обыкновенная водопроводная вода. Напряжения измеряются цифровым вольтметром. В качестве заряженных тел берутся электроды различной формы – в виде плоских пластин, цилиндров, полуколец и др. На электроды подается переменное напряжение с амплитудой 
порядка нескольких единиц вольт. Ванна снабжена координатной сеткой, которую следует перенести на миллиметровую бумагу. Положение и форму электродов необходимо также аккуратно изобразить на миллиметровой бумаге.
Определение точек, равноотстоящих по значению потенциала
Эквипотенциальные линии принято проводить так, чтобы между любыми соседними линиями разность потенциалов была одна и та же. Поэтому вначале необходимо на одной горизонтальной линии в середине ванны отметить точки, равноотстоящие друг от друга по потенциалу. Соседние эквипотенциальные линии тогда будут проходить через соседние отмеченные точки.
Проведем следующие простые манипуляции. Погружаем в ванну электроды – аналоги заряженных тел. Подаем на них напряжение. Погружаем теперь зонды в ванну – один зонд вблизи левого электрода, другой – вблизи правого (зонды следует ставить строго вертикально и не касаться ими электродов). При этом цифровой вольтметр покажет значение U, несколько отличающееся от величины . Положение зондов отмечаем на миллиметровой бумаге. Приписываем левой точке значение потенциала 0 вольт, правой точке – значение U вольт.
Теперь правый зонд приставляем к левому и, перемещая его от левого зонда по выбранной горизонтальной линии в середине ванны, отмечаем точки, соответствующие напряжениям в 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6 от значения U. В итоге мы получаем семь точек, равноотстоящих по потенциалу.
Примечание. При погружении электродов в проводящую среду (воду) вследствие ограниченности размера ванны и различия в уровнях воды в разных ее местах картина электрического поля в ней может отличаться от картины в отсутствие ванны. Это следует учесть при сопоставлении теоретических и экспериментальных схем силовых и эквипотенциальных линий.
Определение эквипотенциальных линий
Для заданной пары электродов мы будем определять пять эквипотенциальных линий, соответствующих значениям U /6…5 U /6 в. Для построения каждой из этих пяти линий найдем не менее 10 точек равного потенциала вдоль ожидаемой эквипотенциальной линии.
Определим, к примеру, эквипотенциальную линию, соответствующую значению потенциала U /6 в. Для этого один зонд (например, левый) ставим в уже отмеченную точку этого потенциала и в дальнейшем все время удерживаем в данном месте, не перемещая и не вынимая его из ванны. Вторым зондом будем вести поиск других точек того же потенциала, т.е. точек, напряжение между которыми равно нулю. Для этого удобно вторым (правым) зондом водить поперек ожидаемой эквипотенциальной линии вблизи второй, третьей и т. д. ожидаемой точки того же потенциала. В искомых точках вольтметр должен показывать минимально возможное значение напряжения (нулевого значения напряжения иногда невозможно добиться из-за наличия наводок и других несовершенств методики эксперимента).
После того как первая эквипотенциальная линия вычерчена, переходим к нахождению второй эквипотенциальной линии. Для этого первый (левый) зонд помещаем в точку потенциала 2/6 U в и вторым зондом ведем поиск других точек того же потенциала и т. д. Зонды следует ставить строго вертикально. Особенно следите за неподвижностью левого, неперемещаемого зонда.
Возможен, конечно, и иной способ определения эквипотенциальных точек. Например, левый зонд ставим в точку, которой приписан потенциал 0 в, а вторым зондом по всей ванне ищем точки потенциала U /6 в. Так мы находим эквипотенциальную линию с данным значением потенциала. Затем аналогично ищем эквипотенциальную линию со значением потенциала 2/6 U в и т. д. Однако точность определения эквипотенциальных точек этим способом несколько ниже, чем первым способом.
Построение силовых линий напряженности
электрического поля
Пять силовых линий напряженности электрического поля проводятся исходя из теоретически известного взаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. При этом необходимо соблюдать соглашение о густоте силовых линий: там, где поле сильнее, линии должны проводиться гуще.
Погрешность определения координат
эквипотенциальных точек
Погрешность определения координат эквипотенциальных точек обусловлена погрешностью отсчета по координатной сетке 
и погрешностью 
, определяемой чувствительностью экспериментальной установки:
. (1)
Вследствие грубости координатной сетки установки первая погрешность s x 1 зависит в основном от глазомера экспериментатора, а также от точности переноса найденной точки на миллиметровую бумагу.
Вторая погрешность оценивается как
, (2)
где 
– максимальное расстояние в поперечном к эквипотенциальной линии направлении, при смещении зонда на которое показание вольтметра заметно не изменяется. Величина может быть названа зоной нечувствительности.
Задания к лабораторной работе
1. * изобразить ожидаемые картины эквипотенциальных и си- ловых линий для двух заряженных разноименно тел: достаточно большой тонкой пластины и точечного тела, размещаемого близ пластины.
2. * Изобразить ожидаемые картины эквипотенциальных и си-ловых линий для двух заряженных разноименно тел: точечного и цилиндрического.
3. В лаборатории для пары электродов – аналогов заряженных тел получить экспериментально семейство эквипотенциальных линий. Тип электродов задает преподаватель.
4. Оценить погрешность определения положений эквипотенциальных точек.
5. Провести пять силовых линий исходя из теоретически известного взаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. Точки на электродах, из которых надо «выпускать» эти линии, определяет преподаватель.
6. Вычислить величины напряженности электрического поля в точках, которые задает преподаватель. При этом следует исходить из связи напряженности поля и потенциала.
7. Сделать выводы по лабораторной работе.
Примечание. Задания, помеченные звездочкой, выполняются студентами дома.
Контрольные вопросы
1. Какова цель работы?
2. Что такое напряженность и потенциал электрического поля?
3. Дайте определение силовой линии и эквипотенциальной поверхности.
4. Какова связь между потенциалом и напряженностью электрического поля?
5. Каково взаимное расположение силовых линий и эквипотенциальных поверхностей? Почему?
6. Каковы ожидаемые картины эквипотенциальных поверхностей и силовых линий в случае точечного и цилиндрического тел?
7. Как вы будете определять точки, равностоящие по потенциалу?
8. Как вы будете находить точки равного потенциала?
9. Как проводить силовые линии напряженности электрического поля?
10. Как вычислять напряженность электрического поля по экспериментальным данным?
11. Каков класс точности вашего прибора?
12. Как вычисляется максимальная приборная погрешность?
13. Какими факторами определяется погрешность измерений?
14. Получили ли вы ожидаемую картину эквипотенциальных линий?
15. Подумайте, от чего и как зависит экспериментально определяемая картина эквипотенциальных поверхностей (рода электролита, формы электродов, взаимного их размещения, формы и расположения зондов, уровня жидкости в ванне и т.д.)?
Литература
1. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Академия, 2004.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. – М.: Астрель, 2001.
3. Калашников С.Г. Электричество. – М.: Физматлит, 2003.
Лабораторная работа № 11
ИЗУЧЕНИЕ РАБОТЫИСТОЧНИКА
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Цель работы – экспериментально получить зависимость напряжения на резисторе (с переменным сопротивлением) от силы тока в цепи; определить электродвижущую силу источника тока и его внутреннее сопротивление; рассчитать полезную и полную мощность источника тока и построить графики зависимости этих мощностей от тока; проверить, действительно ли максимум полезной мощности наблюдается при равенстве внешнего сопротивления цепи внутреннему сопротивлению источника.
Описание метода измерений и установки
Электрическая цепь состоит из батареи элементов с электродвижущей силой e, внутренним сопротивлением r и резистора с переменным сопротивлением R (рис. 1).
Рис. 1
Ток в цепи измеряется амперметром, напряжение на резисторе – вольтметром. В качестве резистора используется магазин сопротивлений (в дальнейшем сопротивлением амперметра пренебрегаем по сравнению с сопротивлением резистора). По закону Ома для замкнутой цепи
. (1)
Здесь 
– падение напряжения на резисторе.
Из формулы (1) находим явную зависимость напряжения 
от тока в цепи I:
. (2)
Из формулы (2) видно, что зависимость от 
линейная (рис. 2), с увеличением тока напряжение падает. При разрыве цепи (
): 
, 
– напряжение в разорванной внешней цепи. При коротком замыкании цепи (
): 
, 
– ток короткого замыкания.
Рис. 2
Мощность, развиваемая источником тока, может быть получена из уравнения (1). Умножим обе части этого уравнения на силу тока I:
. (3)
Это выражение имеет следующий смысл:
, (4)
где 
– полная мощность, развиваемая источником; 
– «полезная» мощность (т. е. мощность, выделяющаяся на внешней нагрузке – резисторе); 
– мощность потерь (потери мощности внутри источника)
В соответствии с (3) явная теоретическая зависимость полезной мощности от силы тока имеет вид
. (5)
Зависимость 
– параболическая, которую можно исследовать стандартными математическими методами. Легко найти, что у этой зависимости имеется максимум, который приходится на значение тока 
. Такое значение тока имеет место при сопротивлении резистора 
.
Таким образом, от источника отбирается максимальная мощность на внешнюю нагрузку – резистор 
, если сопротивление резистора равно внутреннему сопротивлению источника тока. При этом коэффициент полезного действия источника тока равен 
, т.е. 50 %.
Задание к лабораторной работе
1. * исследовать функцию на наличие экстремума. Найти значение тока 
, при котором имеет место экстремум функции. Убедиться, что 
. Построить зависимость .
2. * показать, что значение тока 
имеет место при сопротивлении резистора .
3. * Показать, что при коэффициент полезного действия источника тока 
равен 50 %.
4. * Нарисовать ожидаемые зависимости 
, , 
.
5. * Получить рабочую формулу для расчета погрешностей косвенных измерений полезной мощности 
по прямым измерениям напряжения и тока (максимальные приборные погрешности вольтметра и амперметра равны соответственно 
и 
).
6. * Получить рабочую формулу для расчета погрешностей косвенных измерений полной мощности 
по измерениям электродвижущей силы 
источника и тока . Считать, что погрешность определения величины равна максимальной приборной погрешности вольтметра .
7. * получить рабочую формулу для расчета погрешностей косвенных измерений мощности потерь 
.
Примечание. Задания, помеченные звездочкой, выполняются студентами дома.
8. В лаборатории экспериментально определить зависимость 
. Ток в цепи изменять, меняя сопротивление резистора . Построить зависимость .
9. По найденной экспериментальной зависимости определить электродвижущую силу e источника тока, ток короткого замыкания I кз и внутреннее сопротивление r источника тока.
10. Если есть возможность, отключить внешнюю цепь и измерить электродвижущую силу источника тока непосредственно вольтметром. Это значение сравнить со значением, полученным по графику .
11. Рассчитать полную и полезную мощность, а также мощность потерь и построить зависимости , и на одном рисунке.
12. По графику зависимости определить значение , на которое приходится максимум полезной мощности . Полагая, что при этом , определить внутреннее сопротивление источника тока. Это значение сравнить со значением, полученным по графику .
13. Сделать выводы по лабораторной работе.
Контрольные вопросы
1. Какова цель работы?
2. Что называется электродвижущей силой источника тока?
3. Какой ток называется током короткого замыкания?
4. Как определить электродвижущую силу источника тока по зависимости ?
5. Как определить внутреннее сопротивление источника тока r по зависимости ?
6. Как вычислить полезную мощность источника ?
7. Как вычислить погрешность определения полезной мощности источника ?
8. Как вычислить полную мощность источника ?
9. Как вычислить погрешность определения полной мощности источника ?
10. Как вычислить мощность потерь ?
11. Как вычислить погрешность определения мощности потерь Р 2?
12. Каковы классы точности ваших приборов?
13. Как вычисляются м