Тема 5
Напряженное состояние в точке.
Лекция №5
Плоское напряженное состояние.
5.1 Напряженное состояние в точке.
5.2 Напряжения в наклонных площадках.
5.3 Главные площадки и главные напряжения.
5.4 Экстремальные касательные напряжения.
5.5 Главные деформации.
5.6 Чистый сдвиг.
Основные понятия.
Напряженное состояние в точке, главные площадки и главные напряжения, экстремальные касательные напряжения, главные деформации, чистый сдвиг.
Напряженное состояние в точке
Рассмотрим тонкую пластинку, находящуюся под действием произвольной системы сил, приложенных к кромкам пластинки и лежащих в ее плоскости (рис. 5.1 а). На поверхности пластинки параллельной плоскости xy напряжения отсутствуют (
). Так как толщина пластинки мала, то можно считать, что напряжений нет и внутри пластинки на площадках параллельных этой поверхности. Поэтому в точках пластинки в общем случае имеет место плоское напряженное состояние.
Рис. 5.1 Примеры плоского напряженного состояния:
панель сборного здания (а), стенка мостовой балки (б)
Вырежем элементарный параллелепипед из пластинок в окрестности произвольной точки 
сечениями, перпендикулярными плоскости пластинки. Со стороны среды, окружающий параллелепипед, на него действуют в общем случае как нормальные, так и касательные усилия.
На рис. 5.2 б показаны векторы нормальных и касательных напряжений, соответствующие этим усилиям. Оси координат совмещены с центром элемента точкой К.
Рис. 5.2 Напряжения на гранях элемента в случае плоского напряженного состояния.
Напряженное состояние малого параллелепипеда является однородным. Это значит, что в любых его параллельных сечениях напряжения можно считать распределенными равномерно, а по величине одинаковыми. Поэтому компоненту элементарной силы на любой площадке получим как произведение напряжения на площадь площадки, например 
или просто 
. Будем считать, что напряжения, действующие по граням параллелепипеда: σx,σy,τxy известны (определяются в результате решения плоской задачи теории упругости).
Напряженным состоянием в точке называют совокупность напряжений, действующих по всевозможным площадкам, проведенным через эту точку.
Рис. 5.3 Пучок площадок, проведенных через данную точку
Напряжения в наклонных площадках.
Разрежем параллелепипед, изображенный на рис.5.2 б, наклонным сечением, выделив из него треугольную призму (рис. 5.4 а)
Рис. 5.4 Элементарная призма и напряжения на ее гранях-площадках (а), правило знаков для напряжений (б).
Угол между осью x и внешней нормалью N к наклонной грани считаем положительным (α>0), если он отсчитывается по ходу часовой стрелки. На гранях пластинки показаны нормальные и касательные усилия (толщина пластины δ=1). Составим уравнение: сумма моментов всех сил относительно точки K (т.K -середина гипотенузы)
 .
| (5.1) |
Из уравнения (5.1) получим численное равенство закона парности касательных напряжений
 = 
| (5.2) |
Вблизи прямого угла касательные напряжения равны по модулю и направлены так, что либо сходятся к вершине прямого угла, либо расходятся от неё.
Определим напряжения на наклонной грани. При определении напряжений на наклонной площадке будем придерживаться правила знаков, показанного на рис. 5.4 б: нормальное растягивающее напряжение считается положительное; касательное напряжение положительно, если его вектор вращает элемент по ходу часовой стрелки. Согласно этому правилу знаков, показанные напряжения на рис. 5.5 τxy<0, τyx>0.
Для определения напряжений 
, 
спроектируем все силы на оси KN и KT (рис.5.5).
Рис. 5.5 Треугольная пластинка и напряжения на ее гранях
Сумма проекций всех сил на ось KN:
|
Разделим уравнение (5.3) на ds и с учетом:
 ,
|  ,
| (5.4) |
получим выражение для σα
| (5.5) |
Сумма проекций всех сил на ось KТ:
| (5.6) |
Разделим уравнение (5.6) на ds и с учетом (5.4) и (5.2) получим:
| (5.7) |
Сумма нормальных напряжений на взаимно ортогональных площадках не зависит от угла α (инвариантна к направлением осей координат) и, следовательно, для данной точки эта сумма постоянна:
| (5.8) |