Впервые гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в опытах по дифракции электронов американскими физиками К. Дэвиссоном (C.Devisson) и Л. Джермером (L. Germer). Схема опыта представлена на рис.2. Параллельный моноэнергетический пучок электронов, получаемый с помощью электронно-лучевой трубки 1, направляется на мишень 2 (монокристалл никеля). Отраженные электроны улавливаются коллектором 3, соединенным с гальванометром. Коллектор можно устанавливать под любым углом относительно падающего луча.
Рассмотрим результаты опытов Дэвиссона и Джермера. Например, в одном из опытов наблюдалась дифракция электронов с энергией 54 эВ. Первый дифракционный максимум наблюдался под углом j = 50о (см. рис.2). Импульс электрона связан с его кинетической энергией формулой . Из формулы де Бройля определяем длину волны электронов:
В то же время по формуле Брегга для максимума первого порядка при дифракции на кристалле никеля с периодом решетки d = 0,091 нм получаем:
Оба результата хорошо совпадают, что подтверждает наличие волновых свойств у электронов.
30) принцип и соотношение неопределенностей гейзенберга
В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Начав со сложных математических формул, описывающих мир на субатомном уровне, он постепенно пришел к удивительной по простоте формуле, дающий общее описание эффекта воздействия инструментов измерения на измеряемые объекты микромира, о котором мы только что говорили. В результате им был сформулирован принцип неопределенности, названный теперь его именем:
неопределенность значения координаты x неопределенность скорости > h / m,
математическое выражение которого называется соотношением неопределенностей Гейзенберга:
Δ x х Δ v > h / m
где Δ x — неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, Δ v — неопределенность скорости частицы, m — масса частицы, а h — постоянная Планка, названная так в честь немецкого физика Макса Планка, еще одного из основоположников квантовой механики. Постоянная Планка равняется примерно 6,626 x 10–34 Дж·с, то есть содержит 33 нуля до первой значимой цифры после запятой.
31) вероятная трактовка волновой функции. Волновая функция для свободной частицы.
Одним из основных понятий квантовой механики является волновая функция. Эта функция описывает состояние системы — зная ее, можно определить все физические величины, характеризующие состояние системы. Естественно, имеет смысл говорить лишь о тех характеристиках системы, которые могут быть определены экспериментально при заданных условиях. В квантовой химии рассматривают системы, состоящие из атомных ядер и электронов. Поэтому волновая функция должна зависеть от координат как атомных ядер, так и электронов. Электронная волновая функция описывает состояние электронной системы в атоме или молекуле и зависит от координат электронов.
Волновая функция одноэлектронной системы.Волновую функцию электрона обычно обозначают ψ. Данная функция зависит от координат рассматриваемого электрона: трех пространственных, спиновой, под которой понимают проекцию спина данною электрона на ось z, и от времени. σ -спиновая переменная, которая может принимать два значения: +1/2 и -1/2. Таким образом, одноэлектронная функция записывается как ψ (x, y, z, σ, t). Физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля (в общем случае волновая функция — комплексная величина):
dw = | ψ (x, y, z, σ, t) |2 dv.
В этой записи: dw — вероятность нахождения электрона с проекцией спина σ в момент времени t в элементарном объеме dv, расположенном вблизи точки с координатами (х, у, z). Сам квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности, т. е. вероятность, отнесенную к единице объема. Очевидно, что выбор системы координат (чаще всего используют декартову или сферическую систему координат) не имеет принципиального значения и обусловлен решаемой задачей.
Такая вероятностная трактовка волновой функции имеет ряд следствий. Поскольку вероятность не может быть больше единицы, волновая функция должна принимать лишь конечные значения. Кроме того, волновая функция должна быть однозначной: для электрона не может быть одновременно двух разных вероятностей нахождения в некотором объеме. Наконец, волновая функция должна быть непрерывной (т. е. у функции должна существовать, по крайней мере, первая производная).
Наличие у частицы волновых свойств приводит к тому, что в квантовой физике ей сопоставляется волновая функция (x,y,z,t).
Физический смысл волновой функции. Величина | (x,y,z,t)|2dV пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в окрестности точки (x,y,z).
Волновая функция системы невзаимодействующих частиц (r1,r2,...rn,t) связана с одночастичными волновыми функциями i(ri,t) соотношением
(r1,r2,...rn,t) = 1(r1,t)· 2(r2,t)·... n(rn,t).
32) Временное уравнение Шреденгира. Стандартные условия. Стационарное уравнение Шреденгера.
Временное уравнение Шрёдингера. Для описания волновых свойств микрочастицы была введена комплексная функция координат и времени, называемая пси–функцией , физический смысл и свойства которой рассматривались ранее. Эта функция является решением временного уравнения Шрёдингера
,
где , m – масса микрочастицы, U (х, у,z,t) – потенциальная энергия силовом поле, в котором частицы находится, ,
– оператор Лапласа.
Это уравнение нерелятивистское, оно справедливо для любой микрочастицы, движущейся со скоростью (с – скорость света в вакууме).
Волновая функция является функцией времени.
Условия:пси-функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением особых точек), она должна иметь непрерывную и конечную производную.
Стационарное уравнение Шрёдингера.
Для широкого класса задач уравнение Шрёдингера можно упростить, исключив зависимость от времени. Это те задачи, в которых потенциальная энергия не зависит от времени, а зависит только от координат, т.е. силовое поле, в котором движется частица, стационарно. В этом случае решение уравнения Шрёдингера можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координат, а другая – только от времени:
.
Если подставить в таком виде пси – функцию во временное уравнение Шрёдингера, произвести дифференцирование и разделить правую и левую части этого уравнения на , то получим:
.
Левая часть этого уравнения функция только координат, а правая – функция только времени. Поскольку обе части равны между собой, то каждая из них должна быть равна одной и той же постоянной которую обозначим . Тогда уравнение представится в виде двух уравнений:
,
.
Проделанная здесь операция представляет собой приведение дифференциального уравнения в частных производных к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, что значительно упрощает решение уравнения Шрёдингера.
Второе уравнения можно записать в виде и проинтегрировать . Результат интегрирования дает . Постоянную интегрирования можно положить равной нулю, что не приводит к потере общности, так как всегда фигурирует в выражении в комбинации с , а тоже содержит постоянную в качестве множителя. Окончательно решение этого уравнения имеет вид: .
Первое уравнение зависит только от координат:
и называют стационарным уравнением Шрёдингера. В это уравнение входит в качестве параметра величина , которая играет роль полной энергии микрочастицы.
В одномерном случае одномерное стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид: .
33) квантование энергии. Частица в прямоугольной потенциальной яме.
Некоторые физические величины, относящиеся к микрообъектам, изменяются не непрерывно, а скачкообразно. О величинах, которые могут принимать только вполне определенные, то есть дискретные значения (латинское "дискретус" означает разделенный, прерывистый), говорят, что они квантуются.
Одна из простейших задач о движении микрочастиц – это задача о движении в прямоугольной потенциальной яме с очень высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах.) Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой
Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?
· Вспомним "Кавказского пленника" (Л.Н.Толстой). Попавшего в плен Жилина держали в яме и требовали выкупа. Можно сказать, что для человека яма глубиной три метра – это яма с бесконечно высокими стенками. В ней человек может находиться в любом из состояний – от состояния покоя до интенсивного движения в бессильной ярости от невозможности выбраться на поверхность.
· Другой пример – лототрон. В нем шарики либо лежат на дне, либо скачут в ограниченном стенками пространстве.
В мире микрочастиц взаимодействие протона и нейтрона в ядре тяжелого водорода приближенно описывается прямоугольным потенциалом. Этот же потенциал – чрезвычайно грубое приближение к задаче о движении электрона в атоме. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Стенки "ящика" бесконечно круты и бесконечно высоки. Частица не может покинуть такую яму.
Всю область изменения переменной x разобьем на три (см. рисунок 1). Вероятность нахождения частицы в областях x < 0 и x > a равна нулю, так что волновая функция Ψ(x) = 0. В центральной части мы положили для удобства U(x) = 0 (известно, что потенциальная энергия определена с точностью до константы). В этом случае уравнение Шредингера принимает вид
,
где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначение
.
Уравнение приобретает вид и имеет решение
.
Постоянные A, α и β мы найдем из условий непрерывности волновой функции и нормировки. На левой границе Ψ(0) = A sin(α) = 0 дает α = 0. На правой границе Ψ(a) = A sin(βa) = 0 приводит к βa = πn, где n = 1, 2, 3,... Нулевое значение n в ряд допустимых значений не входит, т.к. иначе волновая функция везде бы обращалась в ноль. Движение частицы в потенциальной яме описывается набором волновых функций
.
Условие нормировки
.
Окончательный вид волновой функции
.
Возведем в квадрат левую и правую части равенства βa = πn, и вспомним, что значит β2. Тогда получим выражение для энергии
(
34) Принцип суперпозиции состояний. Потенциальный барьер
Ква́нтовая суперпози́ция (когерентная суперпозиция) — это суперпозиция состояний, которые не могут быть реализованы одновременно с классической точки зрения, это суперпозиция альтернативных (взаимоисключающих) состояний. Принцип существования суперпозиций состояний обычно называется в контексте квантовой механики просто принципом суперпозиции.
Если функции и являются допустимыми волновыми функциями, описывающими состояние квантовой системы, то их линейная суперпозиция, , также описывает какое-то состояние данной системы. Если измерение какой-либо физической величины в состоянии приводит к определённому результату , а в состоянии — к результату , то измерение в состоянии приведёт к результату или с вероятностями и соответственно.
Из принципа суперпозиции также следует, что все уравнения на волновые функции (например, уравнение Шрёдингера) в квантовой механике должны быть линейными.
Потенциа́льный барье́р — область пространства, разделяющая две другие области с различными или одинаковыми потенциальными энергиями. Характеризуется «высотой» — минимальной энергией классической частицы, необходимой для преодоления барьера.
На приведённом изображении участок BNC является потенциальным барьером для частицы с энергией E1. Потенциальным барьером для частицы с энергией E2 служит участок от нуля до точки D, так как частица не в состоянии подойти к началу координат ближе, чем координата точки D.
В классической механике, в случае, когда частица не обладает энергией, большей максимума для данного барьера, она не сможет преодолеть потенциальный барьер. В квантовой механике, напротив, возможно преодоление барьера с определённой вероятностью (туннельный эффект).
35) Тунельный эффект. Коэффициент прозрачности барьера.
Тунне́льный эффект, туннели́рование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера.