Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля. Опыт Дэвиссона и Джермера.




Впервые гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально в опытах по дифракции электронов американскими физиками К. Дэвиссоном (C.Devisson) и Л. Джермером (L. Germer). Схема опыта представлена на рис.2. Параллельный моноэнергетический пучок электронов, получаемый с помощью электронно-лучевой трубки 1, направляется на мишень 2 (монокристалл никеля). Отраженные электроны улавливаются коллектором 3, соединенным с гальванометром. Коллектор можно устанавливать под любым углом относительно падающего луча.

Рассмотрим результаты опытов Дэвиссона и Джермера. Например, в одном из опытов наблюдалась дифракция электронов с энергией 54 эВ. Первый дифракционный максимум наблюдался под углом j = 50о (см. рис.2). Импульс электрона связан с его кинетической энергией формулой . Из формулы де Бройля определяем длину волны электронов:

В то же время по формуле Брегга для максимума первого порядка при дифракции на кристалле никеля с периодом решетки d = 0,091 нм получаем:

Оба результата хорошо совпадают, что подтверждает наличие волновых свойств у электронов.

30) принцип и соотношение неопределенностей гейзенберга

В начале 1920-х годов, когда произошел бурный всплеск творческой мысли, приведший к созданию квантовой механики, эту проблему первым осознал молодой немецкий физик-теоретик Вернер Гейзенберг. Начав со сложных математических формул, описывающих мир на субатомном уровне, он постепенно пришел к удивительной по простоте формуле, дающий общее описание эффекта воздействия инструментов измерения на измеряемые объекты микромира, о котором мы только что говорили. В результате им был сформулирован принцип неопределенности, названный теперь его именем:

неопределенность значения координаты x неопределенность скорости > h / m,

математическое выражение которого называется соотношением неопределенностей Гейзенберга:

Δ x х Δ v > h / m

где Δ x — неопределенность (погрешность измерения) пространственной координаты микрочастицы, Δ v — неопределенность скорости частицы, m — масса частицы, а h — постоянная Планка, названная так в честь немецкого физика Макса Планка, еще одного из основоположников квантовой механики. Постоянная Планка равняется примерно 6,626 x 10–34 Дж·с, то есть содержит 33 нуля до первой значимой цифры после запятой.

31) вероятная трактовка волновой функции. Волновая функция для свободной частицы.

Одним из основных понятий квантовой механики является вол­новая функция. Эта функция описывает состояние системы — зная ее, можно определить все физические величины, характеризующие состояние системы. Естественно, имеет смысл говорить лишь о тех характеристиках системы, которые могут быть определены экспериментально при заданных условиях. В квантовой химии рас­сматривают системы, состоящие из атомных ядер и электронов. Поэтому волновая функция должна зависеть от координат как атомных ядер, так и электронов. Электронная волновая функция описывает состояние электрон­ной системы в атоме или молекуле и зависит от координат элек­тронов.

Волновая функция одноэлектронной системы.Волновую функ­цию электрона обычно обозначают ψ. Данная функция зависит от координат рассматриваемого электрона: трех пространственных, спиновой, под которой понимают проекцию спина данною элек­трона на ось z, и от времени. σ -спи­новая переменная, которая может принимать два значения: +1/2 и -1/2. Таким образом, одноэлектронная функция запи­сывается как ψ (x, y, z, σ, t). Физический смысл имеет не сама вол­новая функция, а квадрат ее модуля (в общем случае волновая функция — комплексная величина):

dw = | ψ (x, y, z, σ, t) |2 dv.

В этой записи: dw — ве­роятность нахождения электрона с проекцией спина σ в момент времени t в элементарном объеме dv, расположенном вблизи точ­ки с координатами (х, у, z). Сам квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности, т. е. вероятность, от­несенную к единице объема. Очевидно, что выбор системы коор­динат (чаще всего используют декартову или сферическую систе­му координат) не имеет принципиального значения и обуслов­лен решаемой задачей.

Такая вероятностная трактовка волновой функции имеет ряд следствий. Поскольку вероятность не может быть больше едини­цы, волновая функция должна принимать лишь конечные значе­ния. Кроме того, волновая функция должна быть однозначной: для электрона не может быть одновременно двух разных вероятностей нахождения в некотором объеме. Наконец, волновая функция должна быть непрерывной (т. е. у функции должна существовать, по край­ней мере, первая производная).

Наличие у частицы волновых свойств приводит к тому, что в квантовой физике ей сопоставляется волновая функция (x,y,z,t).
Физический смысл волновой функции. Величина | (x,y,z,t)|2dV пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в окрестности точки (x,y,z).
Волновая функция системы невзаимодействующих частиц (r1,r2,...rn,t) связана с одночастичными волновыми функциями i(ri,t) соотношением

(r1,r2,...rn,t) = 1(r1,t)· 2(r2,t)·... n(rn,t).

 

 

32) Временное уравнение Шреденгира. Стандартные условия. Стационарное уравнение Шреденгера.

Временное уравнение Шрёдингера. Для описания волновых свойств микрочастицы была введена комплексная функция координат и времени, называемая пси–функцией , физический смысл и свойства которой рассматривались ранее. Эта функция является решением временного уравнения Шрёдингера
,
где , m – масса микрочастицы, U (х, у,z,t) – потенциальная энергия силовом поле, в котором частицы находится, ,
– оператор Лапласа.
Это уравнение нерелятивистское, оно справедливо для любой микрочастицы, движущейся со скоростью (с – скорость света в вакууме).
Волновая функция является функцией времени.

Условия:пси-функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением особых точек), она должна иметь непрерывную и конечную производную.

Стационарное уравнение Шрёдингера.
Для широкого класса задач уравнение Шрёдингера можно упростить, исключив зависимость от времени. Это те задачи, в которых потенциальная энергия не зависит от времени, а зависит только от координат, т.е. силовое поле, в котором движется частица, стационарно. В этом случае решение уравнения Шрёдингера можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от координат, а другая – только от времени:
.
Если подставить в таком виде пси – функцию во временное уравнение Шрёдингера, произвести дифференцирование и разделить правую и левую части этого уравнения на , то получим:
.
Левая часть этого уравнения функция только координат, а правая – функция только времени. Поскольку обе части равны между собой, то каждая из них должна быть равна одной и той же постоянной которую обозначим . Тогда уравнение представится в виде двух уравнений:
,
.
Проделанная здесь операция представляет собой приведение дифференциального уравнения в частных производных к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, что значительно упрощает решение уравнения Шрёдингера.
Второе уравнения можно записать в виде и проинтегрировать . Результат интегрирования дает . Постоянную интегрирования можно положить равной нулю, что не приводит к потере общности, так как всегда фигурирует в выражении в комбинации с , а тоже содержит постоянную в качестве множителя. Окончательно решение этого уравнения имеет вид: .
Первое уравнение зависит только от координат:

и называют стационарным уравнением Шрёдингера. В это уравнение входит в качестве параметра величина , которая играет роль полной энергии микрочастицы.
В одномерном случае одномерное стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид: .

33) квантование энергии. Частица в прямоугольной потенциальной яме.

Некоторые физические величины, относящиеся к микрообъектам, изменяются не непрерывно, а скачкообразно. О величинах, которые могут принимать только вполне определенные, то есть дискретные значения (латинское "дискретус" означает разделенный, прерывистый), говорят, что они квантуются.

Одна из простейших задач о движении микрочастиц – это задача о движении в прямоугольной потенциальной яме с очень высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах.) Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой

Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?

· Вспомним "Кавказского пленника" (Л.Н.Толстой). Попавшего в плен Жилина держали в яме и требовали выкупа. Можно сказать, что для человека яма глубиной три метра – это яма с бесконечно высокими стенками. В ней человек может находиться в любом из состояний – от состояния покоя до интенсивного движения в бессильной ярости от невозможности выбраться на поверхность.

· Другой пример – лототрон. В нем шарики либо лежат на дне, либо скачут в ограниченном стенками пространстве.

В мире микрочастиц взаимодействие протона и нейтрона в ядре тяжелого водорода приближенно описывается прямоугольным потенциалом. Этот же потенциал – чрезвычайно грубое приближение к задаче о движении электрона в атоме. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Стенки "ящика" бесконечно круты и бесконечно высоки. Частица не может покинуть такую яму.

Всю область изменения переменной x разобьем на три (см. рисунок 1). Вероятность нахождения частицы в областях x < 0 и x > a равна нулю, так что волновая функция Ψ(x) = 0. В центральной части мы положили для удобства U(x) = 0 (известно, что потенциальная энергия определена с точностью до константы). В этом случае уравнение Шредингера принимает вид

,

где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначение

.

Уравнение приобретает вид и имеет решение

.

Постоянные A, α и β мы найдем из условий непрерывности волновой функции и нормировки. На левой границе Ψ(0) = A sin(α) = 0 дает α = 0. На правой границе Ψ(a) = A sin(βa) = 0 приводит к βa = πn, где n = 1, 2, 3,... Нулевое значение n в ряд допустимых значений не входит, т.к. иначе волновая функция везде бы обращалась в ноль. Движение частицы в потенциальной яме описывается набором волновых функций

.

Условие нормировки

.

Окончательный вид волновой функции

.

Возведем в квадрат левую и правую части равенства βa = πn, и вспомним, что значит β2. Тогда получим выражение для энергии

(

34) Принцип суперпозиции состояний. Потенциальный барьер

Ква́нтовая суперпози́ция (когерентная суперпозиция) — это суперпозиция состояний, которые не могут быть реализованы одновременно с классической точки зрения, это суперпозиция альтернативных (взаимоисключающих) состояний. Принцип существования суперпозиций состояний обычно называется в контексте квантовой механики просто принципом суперпозиции.

Если функции и являются допустимыми волновыми функциями, описывающими состояние квантовой системы, то их линейная суперпозиция, , также описывает какое-то состояние данной системы. Если измерение какой-либо физической величины в состоянии приводит к определённому результату , а в состоянии — к результату , то измерение в состоянии приведёт к результату или с вероятностями и соответственно.

Из принципа суперпозиции также следует, что все уравнения на волновые функции (например, уравнение Шрёдингера) в квантовой механике должны быть линейными.

Потенциа́льный барье́р — область пространства, разделяющая две другие области с различными или одинаковыми потенциальными энергиями. Характеризуется «высотой» — минимальной энергией классической частицы, необходимой для преодоления барьера.

На приведённом изображении участок BNC является потенциальным барьером для частицы с энергией E1. Потенциальным барьером для частицы с энергией E2 служит участок от нуля до точки D, так как частица не в состоянии подойти к началу координат ближе, чем координата точки D.

В классической механике, в случае, когда частица не обладает энергией, большей максимума для данного барьера, она не сможет преодолеть потенциальный барьер. В квантовой механике, напротив, возможно преодоление барьера с определённой вероятностью (туннельный эффект).

35) Тунельный эффект. Коэффициент прозрачности барьера.

Тунне́льный эффект, туннели́рование — преодоление микрочастицей потенциального барьера в случае, когда её полная энергия (остающаяся при туннелировании неизменной) меньше высоты барьера.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-26 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: