Прямая на плоскости
Общее уравнение прямой
Теорема. В прямоугольной системе координат любя прямая является уравнением первой степени: Ax + By + C = 0, и обратно, при произвольных коэффициентах A, B, C (А и B не равны нулю одновременно) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Oxy. Доказательство. Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна оси Ox, то она имеет уравнение y = kx + b, где A = k, B = - 1 и C = b. Если прямая перпендикулярна оси Ox, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине a отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox. Уравнение этой прямой имеет вид x = a, т.е. также является уравнением первой степени, где A = 1, B = 0, C = - a. Тем самым первое утверждение доказано. Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение Ax + By + C = 0, причем хотя бы один из коэффициентов A и B не равен нулю. Если B ≠ 0, то можно уравнение записать в виде: y = - A/Bx – C/B. Полагая, что k = - A/B, b = - C/B, получаем уравнение y = kx + b, т.е. уравнение, которое определяет прямую. Если B = 0, то A ≠ 0 и уравнение принимает вид x = - C/A. Обозначая - C/A через а, получаем x = a, т.е. уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox. Линии, определяемые в прямоугольной системе координат уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Таким образом, каждая прямая есть линия первого порядка и, обратно, каждая линия первого порядка есть прямая. Уравнение вида Ax + By + C = 0 называется общим уравнением прямой. Оно содержит уравнение любой прямой при соответствующем выборе коэффициентов A, B, C. Пример. Укажем, как решать две задачи, часто возникающие в связи с уравнением прямой.
Задача 1. Чтобы общее уравнение прямой превратить в уравнение с угловым коэффициентом, надо это общее уравнение решить относительно y (разумеется, считается, что y входит в уравнение, т.е. что B ≠ 0. Например, уравнение
5x + 3y – 7 = 0
переписывается сначала в виде
3y = - 5x + 7,
а затем в виде
y = - 5/3x + 7/3.
Стало быть, угловой коэффициент нашей прямой есть m = - 5/3. Задача 2. Пусть требуется построить на чертеже прямую по уравнению. Если в это уравнение не входит одна из координат, то интересующая нас прямая параллельна одной из осей и ее построение очевидно. Если же в уравнение входят и x, и y, то для построения соответствующей прямой надо найти любые две ее точки и соединить их линейкой. Найти же точку, лежащую на нашей прямой, совсем просто: надо выбрать по своему желанию значение одной из координат (все равно какой), поставить его в уравнение и найти значение второй координаты. Пример. Построить прямую 2x + 5y – 11 = 0 Положим y = 1. Тогда уравнение примет вид 2x – 6 = 0, откуда x = 3. Значит, одна точка (3; 1) нами уже найдена. Положив, далее, хотя бы y = 3, получим 2x + 4 = 0, откуда x = - 2 и второй точкой будет (- 2; 3). Уравнение прямой в отрезках Дано уравнение Ax + By + = 0 при условии, что ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю. Преобразуем его к виду:
x/ - C/A + y/- C/B = 1.
Вводя обозначения a = - C/A, b = - C/B, получаем:
x/a + y/b = 1.
Данное уравнение называется уравнением прямой «в отрезках». Числа a и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения прямой удобна для геометрического уравнения прямой
.
Пример. Прямая задана уравнением 3x – 5y + 15 = 0. Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить прямую. Для данной прямой уравнение «в отрезках» имеет вид: x/- 5 + y/3 = 1. Чтобы построить эту прямую, отложим на осях координат Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны a = - 5, b = 3, и проведем прямую через точки M1 (-5; 0) и M2 (0; 3). Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой с угловым коэффициентом выглядит следующим образом: y - yo = k (x - xo) где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a, где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (xo, yo) - некоторая точка, принадлежащая прямой. Уравнение принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy. Пример. Построить прямую, заданную уравнением y = (3/4) x + 2. Отложим на оси Oy отрезок OB, величина которого равна 2, проведем через точку B параллельно оси Ox отрезок, величина которого BN = 4, и через точку N параллельно оси Oy отрезок, величина которого NM = 3. Затем проведем прямую BM, которая и является искомой. Она имеет угловой коэффициент k = ¾ и отсекает на оси Oy отрезок величины b = 2.
Прямая в пространстве
Уравнение прямой в пространстве
Рассмотрим произвольную прямую, обозначим ее буквой а. Обозначим через П1 и П2 какие-нибудь две различные плоскости, пересекающиеся по прямой а и предположим, что уравнения этих плоскостей будут: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Так как прямая а представляет собой пересечение плоскостей П1 и П2, то она определяется совместным заданием двух уравнением:
A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
A2x + B2y + C2z + D2 = 0.
Поставим задачу: всегда ли два уравнения первой степени совместно определяют некоторую прямую? Очевидно, это будет только в том случае, когда соответствующие им плоскости не параллельны и не совпадают друг с другом, т.е. когда нормальные векторы этих плоскостей N1 = {A1, B1, C1} и N2 = {A2, B2, C2} не коллинеарны. Эти два уравнения совместно определяют прямую только в том случае, когда коэффициенты A1, B1, C1 одного из них не пропорциональны коэффициентам A2, B2, C2 другого.