Нахождение числовых характеристик выборки

Кафедра: «Высшая математика»

 

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

 

 

Тема: «Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона»

 

Выполнил:

 

 

Проверил:

 

 

Дата ___________

 

Оценка ___________

 

 

Омск-2011

 

Содержание

 

1. Исходные данные............................................... 3

2. Построение вариационного ряда.................................. 3

3. Построение интервального вариационного ряда..................... 4

4. Построение гистограммы........................................ 5

5. Нахождение числовых характеристик выборки...................... 6

6. Выдвижение гипотезы о законе распределения генеральной

совокупности Х................................................. 7

7. Оценка числовых характеристик и параметров закона распределения...7

8. Нахождение доверительного интервала для математического ожидания..7

9. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности
по критерию Пирсона........................................... 8

 

Вариант № 15

Исходные данные

Дана выборка из генеральной совокупности случайной величины Х. Данные представлены в таблице 1.

Таблица 1

1,0	3,0	2,0	3,0	0,0	2,0	2,0	0,0	4,0	2,0
3,0	1,0	2,0	3,0	3,0	3,0	4,0	4,0	5,0	2,0
4,0	1,0	4,0	1,0	2,0	2,0	4,0	2,0	3,0	2,0
1,0	2,0	4,0	0,0	2,0	3,0	4,0	3,0	3,0	1,0
3,0	2,0	3,0	6,0	3,0	5,0	4,0	1,0	3,0	3,0
3,0

 

Выборка содержит 51 наблюдаемых значений, поэтому выборка имеет объем n = 51.

 

Построение вариационного ряда

Операция расположения значений случайной величины по не убыванию называется ранжированием. Последовательность элементов х⁽¹⁾ ≤ х⁽²⁾ ≤…≤ х^(k) называется вариационным рядом, элементы которого называют вариантами.

Проранжировав статистические данные, получаем вариационный ряд (таблица 2).

Таблица 2

№		№		№		№		№		№

Построение интервального вариационного ряда

Опытные данные объединяем в группы так, чтобы в каждой отдельной группе значения вариант будут одинаковы, и тогда можно определить число, показывающее, сколько раз встречается соответствующая варианта в определенной (соответствующей) группе.

Численность отдельной группы сгруппированного ряда опытных данных называется выборочной частотой соответствующей варианты x⁽ⁱ⁾ и обозначается n_i; при этом , где n – объем выборки.

Отношение выборочной частоты данной варианты к объему выборки называется относительной выборочной частотой P_i^*, т.е. где индекс i – номер варианты.

Т.к. согласно теореме Бернулли имеем, что т.е. выборочная относительная частота сходится по вероятности соответствующей вероятности, тогда из условия:

Интервальным вариационным рядом распределения называется упорядоченная совокупность частичных интервалов значений случайной величины с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Для построения интервального вариационного ряда выполняем следующие действия:

1. Находим размах выборки R = x_max – x_min. Имеем R = 6 – 0 = 6.

2. Определяем длину частичного интервала ∆ – шаг разбиения по формуле Стерджеса: где n – объем выборки, К – число частичных интервалов. Т.к. n =51, то , ∆ 1.

3. Определяем начало первого частичного интервала . Выбираем х_нач = - 0,5.

После разбиения на частичные интервалы просматриваем ранжированную выборку и определяем, сколько значений признака попало в каждый частичный интервал, включая в него те значения, которые ≥ нижней границы и меньше верхней границы. Строим интервальный вариационный ряд (табл. 3).

Таблица 3

 

 

Построение гистограммы

Гистограммой частот (частостей) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению – плотность частоты (или – плотность частости).

Для построения гистограммы строим вспомогательную таблицу 4.

Таблица 4

i	Разряды	ni
			0,0588	0,0588
			0,1373	0,1373
			0,2549	0,2549
			0,3137	0,3137
			0,1765	0,1765
			0,0392	0,0392
			0,0196	0,0196
Контроль		=51	=1

 

По данным таблицы 4 строим гистограмму частостей (рис. 1).

-0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 х

Рис. 1.

Гистограмма частостей является статистическим аналогом дифференциальной функции распределения (плотности) случайной величины Х. Площадь гистограммы частостей равна единице.

Нахождение числовых характеристик выборки

Рассчитаем статистическое среднее по формуле:

Вычислим статистическую дисперсию:

Вычислим среднее квадратическое отклонение:

.

Вычислим выборочный коэффициент асимметрии:

Вычислим выборочный коэффициент эксцесса: