Доказать, что высказывание P→(Q→(P∧Q)) является тавтологией.
Основные понятия теории вероятности
В окружающей жизни все события можно разделить на три вида:
– невозможные, т.е. события, которые обязательно не произойдут при выполнении определенных условий;
– достоверные, т.е. события, которые обязательно произойдут при выполнении определенных условий;
– случайные, т.е. события, которые либо произойдут, либо не произойдут при выполнении определенных условий.
В теории вероятности событие трактуется как результат испытания и обозначается А, В, С и т.п. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. События образуют полную группу, если в результате испытания может наступить хотя бы одно из них, т.е. можно утверждать, что появление события из полной группы является достоверным событием.
Вероятность характеризует степень возможности наступления того или иного события. По классическому определению вероятность – это отношение числа благоприятных исходов к их общему количеству. Благоприятными исходами для события А называются исходы, в которых оно может наступить. Если обозначить за т число благоприятных исходов события А, а за п общее число исходов этого события, то вероятность 
наступления события А равна
Пример 6.1.1. В коробке имеется 1 белый, 2 синих и 3 красных шара. Производится эксперимент, связанный с извлечением одного шара. Определить вероятность того, что вынутый шар окажется синим.
Общее число исходов данного эксперимента равно 6, т.е. общему числу шаров, а благоприятных всего 2. Таким образом, вероятность того, что вынутый шар окажется синим, равна 1/3.
Основными свойствами вероятности являются следующие:
. Вероятность достоверного события равна 1.
. Вероятность невозможного события равна 0.
. Вероятность случайного события лежит в пределах от 0 до 1.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ
На жетонах выбиты числа от 1 до 10. Наудачу извлекается жетон. В каких из следующих ответов указаны все возможные исходы испытания: а) {четное, нечетное}; б) {простое, 4, 6, 8, 9, 10}; в) {четное, 1, 3, 7, 9}; г) {не более трех, не менее четырех}.
Ответ: а, г.
Даны числа от 1 до 30. Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число является делителем числа 30?
Ответ: 8/30.
В коллекции 200 монет, из которых две 14 века, пять 15 века, шестнадцать 16 века, двадцать 17 века, двадцать 18 века, тридцать четыре 19 века, а остальные 20 века. Какова вероятность того, что наудачу выбранная монета датирована 16-17 веками.
Ответ: 0,08.
Какова вероятность того, что кость, наудачу извлеченная из полного набора домино, имеет сумму очков, равную пяти?
Ответ: 3/28.
Элементы комбинаторики
Комбинаторика – наука, которая исследует количество комбинаций, которые можно получить из заданного массива элементов, и подчиненных определенным правилам.
Правило сложения: если выбор каждого из объекта 
, 
, …, 
можно выполнить соответственно 
, 
, …, 
способами, то выбор «или , или , …, или 
» можно произвести 
способами.
Пример 6.2.1. Из одного города в другой можно добраться самолетом, поездом и автобусом, причем между этими пунктами существует 2 авиамаршрута, 1 – железнодорожный и 3 – автобусных. Найти общее число маршрутов.
По правилу сложения из одного города в другой можно, следуя одним из 
маршрутов.
Правило умножения: если выбор каждого из объекта , , …, можно выполнить соответственно , , …, способами, то выбор «и , и , …, и » можно произвести 
способами.
Пример 6.2.2. Найти общее число трехзначных чисел.
Трехзначное число можно записать в виде 
, причем объект а можно записать 9 цифрами (все цифры за исключением «0»), а объекты b и с всеми 10 цифрами. Тогда общее число трехзначных чисел равно 
.
Перестановки – это упорядоченные комбинации, каждая из которых отличается друг от друга порядком следования элементов. Если общее количество элементов равно п, тогда количество перестановок равно 
Пример 6.2.3. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр «6», «8», «5», если каждую цифру можно использовать только один раз.
Количество таких чисел равно 
. Действительно, это будут числа 568, 586, 658, 685, 856, 865.
Размещение без повторений – это упорядоченные комбинации из п элементов по т (
) элементов, в которых каждая из комбинаций отличается либо составом, либо порядком следования элементов. Количество размещений без повторений равно 
.
Пример 6.2.4. В соревнованиях участвует 10 команд. Сколькими способами могут распределиться первые три места.
Способов будет ровно 
.
Размещение с повторениями – это упорядоченные комбинации из п элементов по т элементов, каждая из которых отличается либо составом элементов, либо порядком их следования, при этом каждый элемент может повторяться. Количество размещений с повторениями равно 
.
Пример 6.2.5. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр «6», «5», «8», если цифры могут повторяться.
Количество таких чисел равно 
. Действительно, это будут числа 55, 56, 58, 65, 66, 68, 85, 86, 88.
Сочетания – это неупорядоченные комбинации из п элементов по т элементов, каждая из которых отличается составом элементов. Количество сочетаний равно 
.
Пример 6.2.6. На окружности отмечено 8 различных точек. Сколько различных треугольников с вершинами в данных точках можно построить?
В данном случае, не играет роли, в какой последовательности брать вершины, т.е. треугольник АВС равен треугольнику ВАС. Таким образом, комбинации неупорядоченные, поэтому число треугольников равно 
.
Пример 6.2.7. Группа туристов состоит из 15 юношей и 5 девушек. Они выбирают по жребию 4 человека, идущих впереди. Какова вероятность, что в эту группу попадут 2 юношей и 2 девушек.
Общее число исходов 
, число же благоприятных исходов по правилу умножения равно 
. Тогда вероятность будет равна 
.