Перевод чисел из системы счисления по основанию q в десятичную

Практическое занятие №1

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Цель занятия:

В соответствии с рабочей программой по дисциплине «Основы теории информации», в результате выполнения заданий ПЗ, студент должен:

уметь:

- переводить числа в недесятичные системы счисления, переводить числа из недесятичных систем счисления; применять правила недесятичной арифметики;

- переводить числа из одной системы счисления в другую

знать:

- принципы кодирования и декодирования

Таким образом, студент во время проведения ПЗ и самостоятельной работы по теме должен:

- закрепить теоретические знания по системам счисления,

- приобрести навыки перевода чисел в различные системы счисления.

- применять принципы кодирования чисел, алгоритмы перевода чисел в недесятичные системы счисления, правила недесятичной арифметики

Краткие сведения

Система счисления — математическая модель или знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью цифр.

Существуют непозиционные и позиционные системы счисления.

В непозиционных системах счисления вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в десятичном числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись суммы 700 + 50 + 7 + 0,7 = ₌ 7 • 10² + 5 • 10¹ + 7 • 10° + 7 • 10^-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием q.

Основание позиционной системы счисления q — это число цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Перевод чисел из системы счисления по основанию q в десятичную

Любое вещественное число в системе счисления с основанием q можно представить набором коэффициентов (цифр) в следующем виде:

Для перевода чисел в десятичную систему счисления используется формула:

Пример:

В последнем примере вместо букв шестнадцатеричной системы счисления используются десятичные числа:

A – 10; B – 11; C – 12; D – 13; E – 14; F – 15.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием q

 

Перевод вещественного числа производится по двум алгоритмам: алгоритм 1 — для целой части числа; алгоритм 2 — для его дробной части.

Алгоритм 1. Последовательно выполнять целочисленное деление целой части числа и получаемых целых частных на основание системы счисления q до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя (q).

Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Алгоритм 2. Последовательно умножать правильную дробь и noлучаемые дробные части произведений на основание системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа.

Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

 

 

Пример. Перевести десятичное число 173₁₀ в восьмеричную систему счисления.

 

число	делитель	Целочисленный остаток
		5

 

Получаем 173₁₀ = 255₈

 

Пример. Перевести десятичное число 173₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления.

 

Число	Делитель	целочисленный остаток
		13

 

Получаем 173₁₀ = AD₁₆

 

Пример. Перевести 11₁₀ в двоичную систему счисления.

 

Число	Делитель	Целочисленный остаток
		1

 

Получаем 11₁₀ = 1011₂

 

 

Пример. Перевести число 0,65625₁₀ в восьмеричную систему счисления.

 

0,	× 8
5,	× 8

 

Получаем 0,65625₁₀ = 0,52₈

 

Перевод вещественных чисел, т.е. чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой.

 

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления очень прост; достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) для восьмеричной системы счисления или тетрадой (четверкой цифр) для шестнадцатеричной системы счисления.

Примеры.

537,1₈ = 101 011 111, 001₂

5 3 7 1

1A3,F₁₆ = 1 1010 0011, 1111₂

1 A 3 F

Чтобы перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады или тетрады и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Таблица соответствия систем счисления, используемых в ПК