Тема 7
Расчет прочности и жесткости простых балок.
Лекция №12
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Методом вырезания узлов и элементов.
Проверка прочности балки из хрупкого материала
Определение допустимой нагрузки.
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов
Методом вырезания узлов и элементов.
Пример 12.1
a = 3.9м, b = 0.9м, c = 1.2м, 
кН/м, 
кН/м,
кН, 
5кН×м, 
;
сталь: 
МПа, 
ГПа, 
;
древесина: 
МПа, 
ГПа, 
.
Расчетные нагрузки:
кН/м, 
кН/м, 
кН,
кН×м.
Расчетная схема балки приведена на рис. 12.1
Рис.12.1 Расчетная схема балки
Вычисляем опорные реакции. Из уравнений равновесия получим
, 
кН;
кН.
Проверка:
На рис.12.2 показана расчетная схема балки, в которой опорные устройства удалены, а их действие заменено опорными реакциями.
Начало координат примем на левом конце балки. Построение эпюр 
и 
будем выполнять по участкам загружения, которых в рассматриваемом примере три. Граничные точки между участками будем называть узловыми или просто узлы. В качестве узловых принимаются точки приложения сосредоточенных нагрузок (сил и пар), начало или конец распределенной нагрузки, начало или конец балки. Узлы на расчетной схеме занумеруем цифрами 0, 1, 2, 3, а участки между узлами (элементы) цифрами 1,2,3 с прямоугольным окаймлением (рис.12.2).
Построение эпюр усилий выполним используя уравнения равновесия узлов и элементов балки.
Рис.12.2 Балка с нумерацией узлов и участков (элементов)
Проведем сечение вблизи точки 0 справа ивыделимузел 0. Узел должен находится в равновесии под действием внешних (сосредоточенных) и внутренних сил и моментов (рис.12.3). На рис.12.3 через 
, 
обозначены поперечная сила и изгибающий момент в начале первого элемента (участка) балки.
Составим уравнения равновесия узла: 
, 
, 
; 
, 
. Таким образом, усилия в начале первого участка известны, их необходимо проставить на эпюрах (рис.12.10).
Рис.12.3 Узел 0
| 1-й участок 
Рис.12.4 Элемент 1-го участка
|
Выделим элемент балки в пределах первого участка двумя сечениями: первое правее точки 0, а второе в произвольном месте первого участка (рис.12.4). Второе сечение отмечено координатой 
. В начале элемента балки поперечная сила и изгибающий момент известны: ; . Вдоль элемента на длине 
приложена распределенная нагрузка интенсивностью 18кН/м. На правом конце неизвестные внутренние усилия поперечная сила 
и изгибающий момент 
Составим уравнение равновесия элемента: , 
, 
. На концах участка функция 
меняет знак, т.е. 
, 
. Найдем положение сечения, в котором 
Имеем: 
и 
Ординаты проставляем на эпюре. Второе уравнение равновесия: 
, 
, 
. Проверяем дифференциальную зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой 
, выполняется. Значения изгибающего момента в характерных точках: 
; 
. Строим эпюру изгибающих моментов на первом участке (рис. 12.10)
Вырезаем узел 1 ( рис.12.5). Показываем внутренние усилия в элементах, прилегающих к узлу и приложенную в узле пару сил 6 кНм. Слева от узла 
и 
. Справа от узла в сечении действуют: поперечная сила 
и изгибающий момент 
в начале 2-го участка.
Составим равнения равновесия узла: 1: , 
, 
; 
, 
, 
. Таким образом, усилия в начале 2-го участка известны, проставляем их значения на эпюрах.
Рис. 12.2 Балка с нумерацией узлов и участков (повторение рисунка)
Рис.12.5 Узел 1
| 2-ой участок  
Рис.12. 6 Элемент 2-го участка
|
Выделим элемент балки в пределах 2-го участка двумя сечениями: первое правее точки 1, а второе в произвольном месте 2-го участка 
(рис.12.6). Составим уравнение равновесия элемента: , 
, 
кН, 
,
, 
, 
. Проверяем дифференциальную зависимость 
, выполняется. Значение на конце участка 
.
Вырезаем узел 2 ( рис.12.7). Показываем внутренние усилия в элементах прилегающих к узлу и приложенную в узле внешнюю силу 32,52 кН.
Составим равнения равновесия узла 2: , 
, 
, 
, 
, 
. Таким образом, усилия в начале 3-го участка известны.
Выделим элемент балки в пределах 3-го участка двумя сечениями: первое правее точки 2, а второе в произвольном месте 3-го участка 
(рис.12.8).
Составим уравнение равновесия элемента: , 
,
, 
кН. По концам участка функция 
меняет знак 
, 
. Найдем положение сечения, в котором 
Имеем: 
и 
Сумма моментов всех сил относительно точки 
: 
, 
,
Рис. 12.2 Балка с нумерацией узлов и участков (повторение рисунка)
Рис.12.7 Узел 2
| 3-й участок  
Рис. 12.8 Элемент 3-го участка
|
. Проверяем, дифференциальную зависимость 
, выполняется. Значения изгибающего момента в характерных точках 3-го участка: 
; 
; 
. Строим эпюры (рис.12.10).
Заметим, что при построении эпюр для узла 3 уравнения равновесия не составлялись. Эти уравнения служат для проверки. Узел должен находиться в равновесии под действием внешних (сосредоточенных) и внутренних искомых сил и моментов (рис.12.9).
Рис12..9 Узел 3
| ,  .
 , 0=0.
|
Проверка прочности балки из хрупкого материала
Пример 12. 2. [1].Проверить прочность балки таврового сечения (рис.12.11), изготовленной из чугуна. Расчетное сопротивление на растяжение 
, расчетное сопротивление на сжатие 
.
Рис.12.11 Балка таврового сечения
Решение. Определяем опорные реакции:
, 
, 
, 
;
, 
, 
, 
.
Строим эпюры поперечных сил 
и изгибающих моментов 
(рис.12.12).
Рис.12.12 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
Вычисляем статический момент тавра относительно вспомогательной оси 
(рис.5а) 
. Площадь сечения 
. Координата центра тяжести 
. Главный центральный момент инерции
.
Координаты точек сечения наиболее удаленных от нейтральной оси 
: 
, 
.
Моменты сопротивления сечения относительно нейтральной оси 
для нижних и верхних волокон 
, 
:
, 
Рис. 12.13 Эпюры нормальных напряжений в опасных сечениях
При проверке прочности балки из хрупкого материала опасными являются сечения с наибольшим положительным изгибающим моментом и с наибольшим по абсолютной величине отрицательным изгибающим моментом. В данной задаче таковыми являются сечение 
, 
и сечение 
, 
.
Строим эпюры нормальных напряжений в опасных сечениях (рис.12.13,б).
1) Сечение 
с наибольшим по абсолютной величине изгибающим моментом. Нормальные напряжения в точках 1 и 2:
, 
, прочность обеспечена.
, прочность обеспечена.
2) Сечение с наибольшим положительным изгибающим моментом. Нормальные напряжения в точках 1 и 2:
, прочность не обеспечена.
, прочность обеспечена.
