Метод решения системы нормальных уравнений с помощью функции Регрессия

Отчет по лабораторной работе №1 «Парная линейная регрессия»

по эконометрике
Вариант 117

Выполнила Н. В. Захарова
группа: 7307
Проверил А.П. Котенко
оценка дата

Самара 2015

Исходные данные:

№	Y	X	X*Y	X^2	Y^2	Улр=a+b*x	Y-Yлр	abs((Y-Yлр)/y)*100
		106,2	2442,6	11278,44		20,190165	2,809835	12,21667372
	16,32	107,94	1761,581	11651,04	266,3424	21,415017	-5,09502	31,21946718
	17,81	113,17	2015,558	12807,45	317,1961	25,096612	-7,28661	40,91303998
	17,81	113,17	2015,558	12807,45	317,1961	25,096612	-7,28661	40,91303998
	23,74	116,65	2769,271	13607,22	563,5876	27,546316	-3,80632	16,03334633
	15,58	121,87	1898,735	14852,3	242,7364	31,220872	-15,6409	100,3907087
	7,42	125,35	930,097	15712,62	55,0564	33,670576	-26,2506	353,7813533
	57,13	127,09	7260,652	16151,87	3263,837	34,895428	22,23457	38,91925711
	41,55	127,09	5280,59	16151,87	1726,403	34,895428	6,654572	16,01581609
	54,16	128,83	6977,433	16597,17	2933,306	36,12028	18,03972	33,30819717
	46,74	130,58	6103,309	17051,14	2184,628	37,352172	9,387828	20,08521225
	48,22	130,58	6296,568	17051,14	2325,168	37,352172	10,86783	22,53800955
	50,45	132,32	6675,544	17508,58	2545,203	38,577024	11,87298	23,53414511
	50,45	134,06	6763,327	17972,08	2545,203	39,801876	10,64812	21,10629179
	37,84	134,06	5072,83	17972,08	1431,866	39,801876	-1,96188	5,184661184
	42,29	142,76	6037,32	20380,42	1788,444	45,926136	-3,63614	8,598098341
	54,16	149,73	8109,377	22419,07	2933,306	50,832583	3,327417	6,143679533
	44,51	151,47	6741,93	22943,16	1981,14	52,057435	-7,54744	16,95671796
	44,55	153,21	6825,506	23473,3	1984,703	53,282287	-8,73229	19,60109352
		154,95	7127,7	24009,5		54,507139	-8,50714	18,49378079
	55,64	156,69	8718,232	24551,76	3095,81	55,731991	-0,09199	0,165332786
∑	795,37	2757,77	107823,7	366949,7	35146,13	795,37	4,19E-12	846,1179224
Ср.знач.	37,87476	131,3224	5134,463	17473,79	1673,625	37,874762	2E-13	40,29132964

 

Метод определителей для решения системы нормальных уравнений

Параметры a и b рассчитываются в результате решения системы нормальных уравнений относительно a и b:

Решим систему методом определителей и получим:

Δ= 100648,3

Δa= -5492182

Δb= 70850,18

a= Δa/ Δ= -54,56804

b= Δb/ Δ= 0,70394

Получаем уравнение линейной регрессии:

Y_лр.= -54,56804+0,70394X

Вывод. Величина коэффициента b= 0,70394 означает, что с ростом заработной платы на 1 тыс. руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров повышается в среднем на 0,70394 %.

0,687713

15,10714

15,46375

Вывод. Значение r_xy=0,687713, т.е. достаточно близок к (1) и существует сильная корреляция y и x.

Коэффициент детерминации составит:

R² yx= 0,472949

Вывод. Коэффициент детерминации 0<=r_xy² <=(+1), ближе к 0, т.е. регрессия плохо аппроксимирует эмпирические данные.

F-критерий Фишера будет равен:

F= 17,04963

Табличное значение критерия Фишера при числе степеней свободы 1 и 19 и уровне значимости 0,05 равно 4,38.

 

Вывод: фактическое значение F-критерия Фишера превышает табличное, и можно сделать вывод, что уравнение регрессии статистически значимо.

Ошибки аппроксимации для каждого наблюдения определяются как:

Средняя ошибка аппроксимации находится как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок:

40,29133

Вывод: величина средней ошибки аппроксимации показывает плохое соответствие.

Решение системы методом определителей:
Значение коэффициента b	0,703946	-54,5691	Значение коэффициента a
Среднеквадратическое отклонение b			Среднеквадратическое отклонение a
Коэффициент детерминации r2	0,472949		Среднеквадратическое отклонение y
F-статистика	17,04963		Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов			Остаточная сумма квадратов

Метод решения системы нормальных уравнений с помощью стандартной функции ЛИНЕЙН(Y,X,1,1)

Получаем параметры линейного приближения по методу наименьших квадратов, используя стандартную функцию ЛИНЕЙН(y,x,1,1).

 

Функция ЛИНЕЙН(y,x,1,1)
Значение коэффициента b	0,703946	-54,5691	Значение коэффициента a
Среднеквадратическое отклонение b	0,170483	22,53594	Среднеквадратическое отклонение a
Коэффициент детерминации r2	0,472949	11,8025	Среднеквадратическое отклонение y
F-статистика	17,04963		Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	2374,997	2646,682	Остаточная сумма квадратов

 

Метод решения системы нормальных уравнений с помощью функции Регрессия

Параметры a и b линейной регрессии y=a+b*x рассчитываются в результате решения системы нормальных уравнений относительно a и b:

Параметры a и b линейной регрессии у=a+b*x получаются с помощью функции Регрессия ППП EXCEL анализа данных.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,670367
R-квадрат	0,449392
Нормированный R-квадрат	0,418802
Стандартная ошибка	12,10386
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		2152,296931	2152,296931	14,69110832	0,001218687
Остаток		2637,060724	146,5033736
Итого		4789,357655
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-57,08910588	25,11628708	-2,272991453	0,035513609
x	0,721893866	0,18834152	3,832898162	0,001218687

Получаем уравнение линейной регрессии y_лр=b*x+a, где а и b взяты из столбца Коэффициенты:

у_лр=-57,0891+0,721894 *x.

Вывод. Величина коэффициента b= 0,721894 означает, что с ростом заработной платы на 1 тыс. руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров повысится в среднем на 0,721894 %.

Сводную таблицу основных статистических характеристик для одного или нескольких массивов данных можно получить с помощью инструмента ППП EXCEL анализа данных Описательная статистика

x		y
Среднее	38,6185	Среднее	132,5785
Стандартная ошибка	3,550151	Стандартная ошибка	3,296749
Медиана	44,53	Медиана	130,58
Мода	17,81	Мода	113,17
Стандартное отклонение	15,87676	Стандартное отклонение	14,74351
Дисперсия выборки	252,0715	Дисперсия выборки	217,3711
Эксцесс	-0,95151	Эксцесс	-0,89592
Асимметричность	-0,73924	Асимметричность	0,204746
Интервал	49,71	Интервал	48,75
Минимум	7,42	Минимум	107,94
Максимум	57,13	Максимум	156,69
Сумма	772,37	Сумма	2651,57
Счет		Счет
Уровень надежности(95,0%)	7,430552	Уровень надежности(95,0%)	6,900176

 

Линейное уравнение регрессии дополняется расчетом линейного коэффициента корреляции:

14,74351

15,87676

r_yx = 0,670367

Вывод. Значение r_yx=0,670367, т.е. достаточно близко к 1 и существует сильная корреляция y и x.

Вывод. Коэффициент регрессии b=0,721894, т.е. b>0 и
0< r_yx <1. –это прямая корреляционная связь. При прямой связи увеличение одной из переменных ведет к увеличению в 0,72 раз условно средней другой.

Коэффициент детерминации составит:

R²_yx =0,472949

Вывод. Вариации y на 47,3% объясняется вариацией x. На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 52,7%.

Вывод. Коэффициент детерминации r_yx² =0,472949, т.е. 0<=r_yx² <=(+1) и ближе к 0, чем к 1, значит, регрессия плохо аппроксимирует эмпирические данные.

F-критерий Фишера будет равен:

F=17,04963

Табличное значение F-критерия Фишера при числе степеней свободы k1=1 и k=19 и уровне значимости 0,05 составит F_табл=4,38.

фактическое значение F-критерия Фишера превышает табличное, и можно сделать вывод, что уравнение регрессии статистически значимо.

Вывод: в данной лабораторной работе были применены три метода:

· метод определителей,

· с помощью стандартной функции ЛИНЕЙН(Y,X,1,1),

· с помощью функции Регрессия.

Следовательно, любой из названных методов можно использовать для получения уравнения регрессии.