Тема 7
Расчет прочности и жесткости простых балок.
Лекция №10
10.1 Расчеты на прочность
10.2 Балки рационального сечения
10.3 Балка со ступенчатым изменением сечения
10.4 Предельная нагрузка при изгибе балки из упругопластического материала. Подбор сечения.
Расчеты на прочность.
Более правильно формулу для нормальных напряжений (9.17) следует записать в виде
 .
| (10.1) |
В формуле (10.1) координата 
- фиксирует сечение в балке, а координата 
- задает положение точки на главной центральной оси поперечного сечения. При фиксированных координатах (
) напряжения вдоль оси 
постоянны.
Из формулы (10.1) следует, что самым опасным сечением в балке является сечение, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент 
(от действия расчетных нагрузок).
В опасном сечении самой опасной точкой является точка наиболее удаленная от нейтральной линии 
.
Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид
 ,
| (10.2) |
 .
| (10.3) |
- геометрическая характеристика поперечного сечения балки.
- момент сопротивления поперечного сечения балки при изгибе (момент сопротивления). Размерность момента сопротивления (м3).
Приведем примеры вычисления момента сопротивления для сечений:
прямоугольник 
; круглое сплошное и полое сечения
; 
; тонкостенное трубчатое сечение 
, 
(см. табл.10.1).
Таблица 10.1
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
В балках из хрупкого материала с целью уменьшения наибольших растягивающих напряжений более рационально применять несимметричные сечений (рис.10.1). 
Рис. 10.1 Балка с несимметричным сечением, материал хрупкий
Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид
  ,
|   ,
| (10.4) |
где 
, 
-моменты сопротивления сечения относительно нейтральной оси Оz для нижних и верхних волокон (
, 
). Здесь 
.
Пример 10.1 Шарнирно опертая балка перекрытия с пролетом 6 м изготовляется из прокатного двутавра (рис. 10.2). Подобрать его сечение, если расчетная равномерно распределенная нагрузка q=24 кН/м, расчетное сопротивление стали R=240 МПа.
Рис. 10.2 К примеру 10.1
Наибольший изгибающий момент в середине пролета 
. Поэтому условие прочности по нормальным напряжениям в этом сечении (для крайних точек) будет иметь вид: 
Отсюда найдем требуемый момент сопротивления сечения:
Из таблицы сортамента находим двутавр №30, для которого 
.
Проверяем его прочность:
МПа<R=240 МПа (на 4,6 %)
Ближайшее меньшее сечение двутавр №27а имеет 
см3 и дает перенапряжение 
265 МПа>R=240 на 10,4%.
Балки рационального сечения
При заданных величинах R и 
из формул (10.2) определяем требуемый момент сопротивления
| (10.5) |
Будем считать, что значение 
задано. Для различных форм сечения одинаковой высотой h определим сечение с наименьшей площадью (балка с наименьшим расходом материала) (см. табл. 10.1).
Круг: 
(где 
, 
), тогда 
.
Прямоугольник: 
, (где 
, 
), тогда 
.
Трубчатое сечение (): 
. Двутавр 
.
Наименьшая площадь 
требуется для идеального двутавра. У идеального двутавра площадь стенки стремиться к нулю, а вся площадь сосредоточена в полках, на уровне, где действуют максимальные 
Требуемые площади при заданном значении представлены в табл. 10.2
Таблица 10.2
Балка со ступенчатым изменением сечения
 ,
|  .
| (10.6) |
Добиться снижения веса балки можно также путем изменения размеров сечения по ее длине в соответствии с эпюрой изгибающих моментов, увеличивая сечение там, где моменты больше, и наоборот (рис 10. 3).
Рис. 10.3 Балка со ступенчатым изменением сечения
Рис 10.3,б Пять составных сечений балок с равной площадью и равной высотой (
, 
- возрастают слева направо).