Численное интегрирование
Пусть требуется вычислить определенный интеграл .
Для решения поставленной задачи естественно воспользоваться формулой Ньютона–Лейбница. Однако даже для многих сравнительно простых элементарных функций первообразная, хотя и существует, но не является элементарной, и ее нахождение может представлять собой более сложную задачу, чем исходная. Невозможно воспользоваться формулой Ньютона–Лейбница и тогда, когда функция задана таблично.
Формула прямоугольников
Основывается на определении определенного интеграла и его геометрического смысла.
Если заменить приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью прямоугольника с основанием , и высотой равной значению функции в некоторой точке этого отрезка. При этом если использовать левый конец интервала получаем формулу левых прямоугольников:
, где ,
Если использовать правый конец интервала получаем формулу правых прямоугольников:
Однако самый хороший результат дает использование значение функции в середине отрезка:
.
Оценим погрешность.
Т.е. имеет второй порядок точности относительно . При этом первые две формулы имеют лишь первый порядок точности.
Численное интегрирование состоит в вычислении значения определенного интеграла на основании конечного числа значений подынтегральной функции.
Для приближенного нахождения определенного интеграла подынтегральную функцию обычно заменяют некоторой более «простой» функцией . Вычислив затем интеграл , приближенно полагают .
Часто в качестве заменяющей функции служит многочлен, причем обычно весь отрезок интегрирования разбивают на достаточное число меньших отрезков, и на каждом из них выполняют замену.
Формула трапеций
Заменяя на каждом из отрезков функцию многочленом первой степени (прямая), выполним интегрирование
. Складывая эти равенства, придем к так называемой формуле трапеций.
.
Оценим погрешность.
Отсюда видно, что , т.е., взяв достаточно большим, можно найти интеграл с любой заданной точностью. Действительно, пусть требуется вычислить интеграл с погрешностью не превосходящей , т.е. . Это условие будет удовлетворено, если , что равносильно .
Формула парабол
В этом случае отрезок интегрирования разбивают на четное число отрезков. На каждом «сдвоенном отрезке» заменяют функцию многочленом второй степени (парабола).
Выполнив интегрирование
и просуммировав результаты, получим так называемую формулу парабол (Симпсона):
.
Погрешность метода можно оценить по формуле . Это формула четвертого порядка точности относительно . Здесь также можно утверждать, что , однако наличие в знаменателе вместо приводит к тому, что, как правило, формула парабол обеспечивает большую точность при одинаковых значениях , чем формула трапеций.
Практическая оценка погрешности
Поскольку для определения числа разбиений , обеспечивающих заданную точность , необходимо вычислить значение максимума модуля второй или четвертой производных, что иногда оказывается затруднительным, на практике часто используют
Правило Рунге: Пусть значение интеграла, полученное при разбиениях, а соответственно при разбиениях, тогда если выполняется «с запасом» , то справедливо ( для метода прямоугольников и трапеций, для метода парабол).