Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Билет 1

1.

Рис. 1

1. Естественный способ. Этим способом пользуются, если из­вестна траектория движения точки. Траекторией называется совокуп­ность точек пространства, через которые проходит движущаяся мате­риальная частица. Это линия, которую она вычерчивает в пространстве. При есте­ст­венном способе необходимо задать (рис. 1):

а) траекторию движения (отно­си­тель­но какой-либо системы коор­динат);

б) произвольную точку на ней нуль, от которого отсчитывают расстояние S до движущейся частицы вдоль траектории;

в) положительное направление от­счета S (при смещении точки М в противоположном направлении S отрицательно);

г) начало отсчета времени t;

д) функцию S(t), которая называется законом движения * точки.

2. Координатный способ. Это наиболее универсальный и ис­черпывающий способ описания движения. Он предполагает задание:

а) системы координат (не обязательно декартовой) q1, q2, q3;

б) начало отсчета времени t;

в) закона движения точки, т.е. функций q1(t), q2(t), q3(t).

Говоря о координатах точки, мы всегда будем иметь в виду (если не оговорено противное) ее декартовы координаты.

3. Векторный способ. Положение точки в пространстве может быть определено также и радиус-вектором, проведенным из некоторо­го начала в данную точку (рис. 2). В этом случае для описания дви­жения необходимо задать:

а) начало отсчета радиус-вектора r;

б) начало отсчета времени t;

в) закон движения точки r (t).

Поскольку задание одной векторной величины r эквивалентно заданию трех ее проекций x, y, z на оси координат, от век­торного способа легко перейти к коорди­натному. Если ввести единичные векторы i, j, k (i = j = k = 1), направленные соответственно вдоль осей x, y и z (рис. 2), то, очевидно, закон движения может быть представлен в виде*)

r (t) = x(t) i +y(t) j +z(t) k. (1)

Преимущество векторной формы записи перед координатной в компактности (вместо трех величин оперируют с одной) и часто в большей наглядности.

2. В динамике решают две задачи. Эти задачи называются первой или прямой, второй или обратной. Обратная задача является основной. Прямой задачей, по заданным законам
движения, определяют силы и моменты сил. Во второй задаче, по приложенным силам и моментам, вычисляют законы движения

Билет 2

Закон движения материальной точки. Закон равномерного движения.

Закон движения: зависимость r=r(t)

Закон движения материальной точки:

Положение материальной точки в любой момент времени относительно данной системы отсчета:

x=x₀+V₀t

x=x₀+V₀t+(at²)/2

m(dV/dt) – уравнение движения

y=y(x) – уравнение траектории

Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона, две его формулировки.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) — система отсчёта, в которой справедлив первый закон Ньютона (закон инерции): все свободные тела (то есть такие, на которые не действуют внешние силы или действие этих сил компенсируется) движутся прямолинейно и равномерно или покоятся.

Первый закон Ньютона постулирует наличие такого явления, как инерция тел. Поэтому он также известен как Закон инерции. Инерция — это явление сохранения телом скорости движения (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения тела, на него необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают инертностью. Инертность — это свойство тел сопротивляться изменению их текущего состояния. Величина инертности характеризуется массой тела.

Современная формулировка:

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго.

Закон верен также в ситуации, когда внешние воздействия присутствуют, но взаимно компенсируются (это следует из 2-го закона Ньютона, так как скомпенсированные силы сообщают телу нулевое суммарное ускорение)

Историческая формулировка:

Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

С современной точки зрения, такая формулировка неудовлетворительна. Во-первых, термин «тело» следует заменить термином «материальная точка», так как тело конечных размеров в отсутствие внешних сил может совершать и вращательное движение. Во-вторых, и это главное, Ньютон в своём труде опирался на существование абсолютной неподвижной системы отсчёта, то есть абсолютного пространства и времени, а это представление современная физика отвергает. С другой стороны, в произвольной (скажем, вращающейся) системе отсчёта закон инерции неверен. Поэтому ньютоновская формулировка нуждается в уточнениях.

Билет 3

1. Путь(S) – это скалярная величина, равная длине траектории. Путь всегда положительная величина.

Перемещение - вектор, соединяющий начальной положение материальной точки с ее конечным положением на траектории. Перемещение векторная величина.

Траектория – линия, вдоль которой движется тело.

2. Второй закон ньютона

Современная формулировка

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

a=F/m

Си́ла — векторная физическая величина, являющаяся мерой интенсивности воздействия на данное тело других тел, а также полей.

Масса – мера инертности тела, физическая величина. Она определяет отношение модуля ускорения талона массы к модулю ускорения тела при их взаимодействии.

Билет 4

1. Средняя скорость – это физическая величина, равная отношению вектора перемещения точки к промежутку времени Δt, за который произошло это перемещение. Направление вектора средней скорости совпадает с направлением вектора перемещения . Средняя скорость определяется по формуле:

Мгновенная скорость - это физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении промежутка времени Δt:

Иными словами, мгновенная скорость в данный момент времени – это отношение очень малого перемещения к очень малому промежутку времени, за который это перемещение произошло.

 

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движения тела (рис. 1.6).

2.

Билет 5

1. Отношение приращения вектора скорости промежутку времени, в течение которого произошло это приращение, называется средним ускорением

Мгновенное ускорение (или просто, ускорение) a - это вектор ускорения материальной точки в любой момент времени a=dv/dt. или мгновенное ускорение есть вторая производная по времени от радиус-вектора:

2.

Билет 6

1.

2.

Билет 7

1. Равноме́рноедвиже́ние — механическое движение, при котором тело за любые равные отрезки времени проходит равные перемещения. Равномерное движение материальной точки — это движение, при котором скорость точки остаётся неизменной.

2. третий закон ньютона Современная формулировка

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению: F12=-F21

Закон отражает принцип парного взаимодействия. То есть все силы в природе рождаются парами.

Билет 8

1. Самый простой вид неравномерного движения — это равноускоренное движение. Равноускоренным называется движение с ускорением, постоянным по модулю и направлению: S=((V0x+Vx)/2)*t.

Sx=V0x*t+(ax*t^2)/2

равноускоренным движением называют такое движение, при

котором вектор ускорения остается неизменным по модулю и направлению. Примером такого движения является движение камня, брошенного под некоторым углом к горизонту (без учета сопротивления воздуха). В любой точке траектории ускорение камня равно ускорению свободного падения g. Для кинематического описания движения камня систему координат удобно выбрать так, чтобы одна из осей, например ось OY, была направлена параллельно вектору ускорения. Тогда криволинейное движение камня можно представить как сумму двух движений – прямолинейного равноускоренного движения вдоль оси OY и равномерного прямолинейного движения в перпендикулярном направлении, т. е. вдоль оси OX (рис. 1.4.1).

Таким образом, изучение равноускоренного движения сводится к изучению прямолинейного равноускоренного движения. В случае прямолинейного движения векторы скорости V и ускорения a направлены вдоль прямой движения. Поэтому скорость υ и ускорение a в проекциях на направление движения можно рассматривать как алгебраические величины.

V=V0+at

Прoекции векторов скорости и ускорения на координатные оси. a_x = 0, a_y = – g

При равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой

В этой формуле υ₀ – скорость тела при t = 0 (начальная скорость), a = const – ускорение.

2. Силой трения называют силу, которая возникает при движении одного тела по поверхности другого. Она всегда направлена противоположно направлению движения. Сила трения прямо пропорциональна силе нормального давления на трущиеся поверхности и зависит от свойств этих поверхностей. Законы трения связаны с электромагнитным взаимодействием, которое существует между телами. Сухое трение возникает между поверхностями твердых тел в отсутствие смазки. Жидким (вязким) называется трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой или ее слоями.

Билет 9

1. 1) Движение — это перемещение тела относительно других тел. Таким образом, описывая движение тела, мы всегда привязываемся к какой-то координатной системе, относительно которой тело движется, или к системе отсчета. Движение тела определяется движением всех его точекпоэтому мы начнем с описания движения материальной точки. Матеpиальной точкой называется тело, pазмеpамикотоpого можно пpенебpечь, считая, что вся масса тела сосpедоточена в одной точке. Рассмотрим теперь вопрос, как найти путь 5, проходимый материальной точкой при ее движении.Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью за промежуток времени от до вычисляется по формуле

2. Трение покоя — сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая возникновению относительного движения. Эту силу необходимо преодолеть для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга. Возникает при микроперемещениях (например, при деформации) контактирующих тел. Она действует в направлении, противоположном направлению возможного относительного движения. Максимальная сила трения покоя в простейшем приближении: F=k0*N, где k0 — коэффициент трения покоя, N — сила нормальной реакции опоры.

Билет 10

1. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ твердого тела, 1) вокруг оси - движение, при котором все точки тела, лежащие на оси вращения, неподвижны, а остальные точки тела описывают окружности с центрами на оси; 2) вокруг точки - движение тела, при котором одна его точка О неподвижна, а все другие движутся по поверхностям сфер с центром в точке О.

Углова́яско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела.

2. Закон всемирного тяготения гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m1 и m2, разделёнными расстоянием R, пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними — то есть: F=G*m1*m2/R^2

Билет 11

1. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ твердого тела, 1) вокруг оси - движение, при котором все точки тела, лежащие на оси вращения, неподвижны, а остальные точки тела описывают окружности с центрами на оси; 2) вокруг точки - движение тела, при котором одна его точка О неподвижна, а все другие движутся по поверхностям сфер с центром в точке О.

Угловое ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела. Угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени.

2. Сила тяжести - сила, с которой тело притягивается к Земле под действием поля тяготения Земли.

По закону всемирного тяготения на тело массой m действует сила тяжести

Fт=GMm/(R+h)2 - формула силы тяжести в общем виде.

где М - масса Земли; R - радиус Земли; h – высота от поверхности Земли;

Если h=0, то Fт=GMm/R2 *m= mg, где g= GMm/R2 – ускорение свободного падения.

Вес – сила, с которой тело действует на опору или подвес.

Вес P тела, покоящегося в инерциальной системе отсчёта P, совпадает с силой тяжести, действующей на тело, и пропорционален массе m и ускорению свободного падения g в данной точке:

P=mg

При движении системы тело — опора относительно инерциальной системы отсчёта c ускорением a вес перестаёт совпадать с силой тяжести:

P=m(g+a), где +, если а ↑

-, если а ↓

Билет 12

1. Установим связь между векторами угловой ω и линейной υ скоростей. Учитывая, что радианной мерой угла является отношение соответствующей дуги ds к радиусу dϕ=ds\r, а линейная скорость точки при движении по окружности численно равна υ=ds\dt, получаем связь между величинами линейной и угловой скоростей: υ=ω*r, то есть модуль скорости υ

численно равен площади прямоугольника, сторонами которого являются векторы ω и r.

Кратчайший поворот от ω к r будет происходить против часовой стрелки, если смотреть с вершины вектора υ. Таким образом, вектор линейной скорости υ равен векторному произведению угловой скорости и радиуса-вектора точки, в которой определяется υ.

υ=[ω*r].

Для определения направления векторов угловых величин удобно пользоваться правилом правого винта (буравчика): если поворачивать головку винта в направлении вращательного движения точки, то его поступательное движение покажет направление вектора угловой скорости.

В отличие от свободных векторов, которые могут иметь произвольные точки приложения и направления в пространстве (например, r, υ, a, …), векторы угловых величин dϕ, ω, ε, … являются аксиальными, т.е. они всегда направлены вдоль оси вращения (перпендикулярно плоскости вращения).

2. Искусственные Спутники Земли (ИСЗ), космические летательные аппараты, выведенные на орбиты вокруг Земли и предназначенные для решения научных и прикладных задач. С помощью этого ИСЗ впервые была измерена плотность верхней атмосферы (по изменениям его орбиты), исследованы особенности распространения радиосигналов в ионосфере, проверены теоретические расчёты и основные технические решения, связанные с выведением ИСЗ на орбиту.

Первая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

Билет 13

1. Установим связь между векторами угловой ω и линейной υ скоростей. Учитывая, что радианной мерой угла является отношение соответствующей дуги ds к радиусу dϕ=ds\r, а линейная скорость точки при движении по окружности численно равна υ=ds\dt, получаем связь между величинами линейной и угловой скоростей: υ=ω*r, то есть модуль скорости υ

численно равен площади прямоугольника, сторонами которого являются векторы ω и r.

Кратчайший поворот от ω к r будет происходить против часовой стрелки, если смотреть с вершины вектора υ. Таким образом, вектор линейной скорости υ равен векторному произведению угловой скорости и радиуса-вектора точки, в которой определяется υ.

υ=[ω*r].

Для определения направления векторов угловых величин удобно пользоваться правилом правого винта (буравчика): если поворачивать головку винта в направлении вращательного движения точки, то его поступательное движение покажет направление вектора угловой скорости.

В отличие от свободных векторов, которые могут иметь произвольные точки приложения и направления в пространстве (например, r, υ, a, …), векторы угловых величин dϕ, ω, ε, … являются аксиальными, т.е. они всегда направлены вдоль оси вращения (перпендикулярно плоскости вращения).

2. В динамике решают две задачи. Эти задачи называются первой или прямой, второй или обратной. Обратная задача является основной. Прямой задачей, по заданным законам

движения, определяют силы и моменты сил. Во второй задаче, по приложенным силам и моментам, вычисляют законы движения

Билет 14

1. Равномерное движение по окружности. Центростремительное (нормальное) ускорение. Равномерное движение тела по окружности. Это самый простой вид криволинейного движения. Вместе с тем любое сложное криволинейное движение тела на достаточно малом участке его траектории можно приближенно рассматривать как равномерное движение по окружности.

Центростремительное или Нормальное ускорение — возникает (не равно нулю) всегда при движении точки по окружности (конечного радиуса). Является составляющей вектора ускорения a, перпендикулярной вектору мгновенной скорости. Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру окружности, а модуль равен: aЦС=v2 / R

2. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона и две его формулировки.

Первый закон Ньютона постулирует наличие такого явления, как инерция тел. Поэтому он также известен как Закон инерции. Инерция — это явление сохранения телом скорости движения (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения тела, на него необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают инертностью. Инертность — это свойство тел сопротивляться изменению их текущего состояния. Величина инертности характеризуется массой тела.

В современной физике первый закон Ньютона принято формулировать в следующем виде:

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго.

Ньютон в своей книге «Математические начала натуральной философии» сформулировал первый закон механики в следующем виде:

Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

Билет 15

1. Криволинейные движения – движения, траектории которых представляют собой не прямые, а кривые линии. Криволинейное движение – это всегда движение с ускорением, даже если по модулю скорость постоянна.

Полное ускорение, с которым движется материальная точка, равно:

a=sqrt(a2t+a2n)

Тангенциа́льноеускоре́ние — компонента ускорения, направленная по касательной к траектории движения. Характеризует изменение модуля скорости. Величину тангенциального ускорения - в смысле проекции вектора ускорения на единичный касательный вектор траектории - можно выразить так:

at=dV/dt

где V=dL/dt - путевая скорость вдоль траектории, совпадающая с абсолютной величиной мгновенной скорости в данный момент.

2. Второй закон ньютона

Современная формулировка

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

a=F/m

Си́ла — векторная физическая величина, являющаяся мерой интенсивности воздействия на данное тело других тел, а также полей.

Масса – мера инертности тела, физическая величина. Она определяет отношение модуля ускорения талона массы к модулю ускорения тела при их взаимодействии.

Билет 16

1. Из известного выражения для силы тяжести вблизи поверхности планеты и второго закона Ньютона непосредственно следует, что вне зависимости от начальных условий движение любого тела характеризуется постоянным ускорением, равным g:

.В общем случае равноускоренного движения тела его скорость и положение во времени описываются следующими векторными равенствами: ,

.Приведенные соотношения (2) и (3), разумеется, справедливы и для частных случаев падения тела без начальной скорости и движения тела, брошенного вертикально вверх, разобранным в соответствующих разделах.

Применение формул (2) и (3) для описания движения тела, брошенного под углом к горизонту из начала координат с начальной скоростью v₀, лежащей в плоскости {xOy}, приводит к следующим общеизвестным соотношениям:

,

Все основные соотношения, упоминавшиеся в разделах, посвященных движению тел вдоль вертикальной прямой, можно получить из формул (4) и (5), положив в них угол равным 90⁰.

В случае тела, брошенного под произвольным углом к горизонту, из равенств (4) и (5) хорошо известные соотношения для времен полета, подъема и спуска

,

максимальной высоты подъема:

дальности полета:

Исключаяиз двух первых равенств системы (4) время, легко получить уравнение траектории:

.

2. Векторная форма (2-й закон Ньютона):

Координатная форма (2-й закон Ньютона в проекциях на оси декартовых координат):

Естественная (эйлерова) форма (2-й закон Ньютона в проекциях на оси естественных координат):

где х, у, z - координаты точки массой m; X, Y, Z - проекции действующей на точку силы (или равнодействующей действующих на точку сил) на оси декартовых координат; - проекции силы на оси естественных координат: касательную Т, главную нормаль N и бинормаль В (см. рис. 1).

Рисунок 1.

Если точка является несвободной (на движение точки наложены связи), в число действующих на точку сил включаются реакции связей.

Силы, входящие в правую часть дифференциальных уравнений движения, в общем случае могут являться функциями от времени t, скорости v и координат х, у, z точки.

Билет 17

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Движение тела, брошенного с некоторой начальной скоростью v0 под углом α к горизонту представляет собой сложное движение:

-равномерного движения вдоль горизонтальной оси (оси OX);

-равноускоренного движения под действием силы тяжести вдоль вертикальной оси (оси OY) (рис. 1).

Проекции скорости тела, следовательно, изменяются со временем следующим образом:

v_x= v_х0 =v₀cos a

v_y= v_y0 - gt=v₀ sin a – gt

Где v₀ - начальная скорость, а a – угол наклона вектора скорости тела, в начальный момент времени.

Координаты тела, следовательно, изменяются так:

x = x₀ + v₀t cos a

y = y₀ + v₀t sin a – 0,5gt²

Определим время движения брошенного тела. Для этого положим координату y равной нулю, т.к. в момент приземления высота тела равна нулю. Отсюда получаем для времени полета:

t₀= 2v₀sin a / g

Максимальная высота подъема равна:

h = h₀ + (v₀²sin²a/2g)

Дальностьполета L камняопределяетсяподстановкойвремениполета t 0 в зависимость x (t): x = x ₀ + v ₀ t ₀cosα. При x ₀= 0 и y ₀= 0 дальностьполётаравна

L = v₀²sin 2a / g

2. Третий закон ньютона Современная формулировка

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению: F12=-F21

Закон отражает принцип парного взаимодействия. То есть все силы в природе рождаются парами.

Билет 18