Двоичная позиционная система счисления

ОСНОВЫДВОИЧНОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ АРИФМЕТИКИ

Позиционные системы счисления

В современных ЭВМ общего назначения для представления обрабатываемой числовой информации, как правило, используются позиционные системы счисления.

Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел.

Позиционной системой счисления называют такую систему, в которой значение (вес) каждой цифры, образующей число, зависит от ее позиции (местоположения) в числе. То есть одна и та же цифра в зависимости от ее местоположения в числе умножается на различный весовой коэффициент для определения ее истинного значения.

Основанием системы счисления называется количество различных цифр, применяемых в соответствующей позиционной системе счисления, необходимых для изображения любого числа в этой системе.

Так, например, основанием двоичной позиционной системы является число 2, восьмеричной – число 8, десятичной – 10, шестнадцатеричной – 16 и т.д.

Пусть является основанием -ичной позиционной системы счисления. В такой системе используется различных цифр, представляющих последовательные целые числа, начиная с нуля и кончая числом, равным . Любые числа записываются в виде последовательности цифр, в которых целая часть отделена от дробной части запятой (точкой) и каждая последующая (справа налево) цифра имеет весовой коэффициент в раз больше, чем предыдущая.

Если буквами обозначить цифры -ичной позиционной системы счисления, то последовательность цифр

обозначает число

Обычно во всех позиционных системах счисления в качестве двух младших цифр используют знаки 0 и 1. При этом основание системы счисления записывается в виде последовательности цифр 10.

Для того, чтобы выполнять произвольные вычислительные операции в любой позиционной системе счисления, необходимо кроме введенных выше понятий уметь пользоваться элементарными арифметическими операциями (сложение, вычитание, умножение и деление) в данной системе счисления.

Основываясь на приведенных определениях, рассмотрим наиболее часто используемые в компьютерной технике и в вычислительной практике позиционные системы счисления: двоичную, восьмеричную, десятичную и шестнадцатеричную. При этом начнем рассмотрение с хорошо всем известной десятичной системы счисления.

Десятичная позиционная система счисления

Основание системы счисления (число десять). Для изображения десяти различных цифр используются знаки (арабские цифры) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Последовательность десятичных цифр, например 257 75, представляет собой число

Сложение, вычитание, умножение и деление в десятичной системе счисления выполняются в соответствии с хорошо всем известными правилами, которые представляются в виде таблиц.

Двоичная позиционная система счисления

В двоичной системе счисления для записи произвольных чисел используются всего две цифры: 0,1. Основание этой системы счисления (число два) записывается двумя цифрами в виде . Остальные любые двоичные числа представляются в виде последовательности нулей и единиц.

Например, десятичное число 237,75 в двоичной системе счисления будет выглядеть так:

(здесь 10 означает число два).

Показатели степени у основания системы счисления также записаны в двоичной системе счисления.

Для удобства чтения записи представим изображения десятичных чисел от нуля до девяти в двоичной системе:

0;	1;	2;	3;	4;	5;	6;	7;	8;	9.
0;	1;	10;	11;	100;	101;	110;	111;	1000;	1001.

Легко проверить теперь правильность двоичной записи числа двести тридцать семь целых семьдесят пять сотых в двоичной системе, переписав правую часть последнего равенства в десятичной системе счисления:

Из приведенных примеров следует, что весовые коэффициенты цифр двоичного числа являются числами, кратными целой степени (положительной или отрицательной) цифры два. При этом для целой части двоичного числа, начиная от младшего разряда к старшему, они равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т.д., а для дробной части двоичного числа от старшего разряда к младшему весовые коэффициенты цифр имеют значения и т.д.

Таблицы сложения, вычитания и умножения двоичных цифр, лежащие в основе двоичной арифметики, содержат всего четыре строки (табл. 1.1; 1.2; 1.3).

Таблица 1.1	Таблица 1.2	Таблица 1.3
0 + 0 = 0	0 - 0 = 0	0 ∙ 0 = 0
0 + 1 = 1	1 - 0 = 1	0 ∙ 1 = 0
1 + 0 = 1	1 - 1 = 0	1 ∙ 0 = 0
1 + 1 = 10	10 - 1 = 1	1 ∙ 1 = 1
Двоичная таблица сложения	Двоичная таблица вычитания	Двоичная таблица умножения

С помощью приведенных таблиц арифметические операции сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Пример:

Сложение Вычитание

11001011,101 11010101,1101

1110101,111 10001110,1111