Непозиционной называется такая система счисления, в которой количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в коде числа.
Непозиционные системы счисления возникли раньше позиционных.
В этих системах счисления значение (величина) числа определяется как сумма или разность цифр в числе.
Непозиционные системы счисления имеют ряд недостатков:
- для записи больших чисел приходиться вводить новые цифры;
- невозможно записывать дробные и отрицательные числа;
- сложно выполнять арифметические операции.
Есть много видов Н.С.С. например: Унарная, Древниеегипетская, Алфавитная, Греческая, Римская, Вавилонская.
РИМСКАЯ СИСТЕМА ЗАПИСИ
Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем "римской нумерации". Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:
I=1; V=5; X=10; L=50; С=100; D=500; M=1000.
Прежде они имели несколько иную форму. Так, число 1000 изображалось знаком (|), а 500-знаком |).
О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. Точно так же знак для 1000 мог составиться из удвоения знака для 500 (или наоборот).
В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. В языке же римлян (латинском) никаких следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (весьма вероятно у этрусков).
Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей1). Например, VI=6, т.е. 5+1, IV=4, т.е. 5-1, XL=40, т е. 50-10, LX=60, т.е. 50+10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX=70; LXXX=80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).
Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.
Примеры:
XXVIII=28; ХХХ1Х=39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818.
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы - до 16 века.
Римские цифры. Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000
Например, II = 1 + 1 = 2. Здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.
На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например: IV = 4, в то время как: VI = 6
Цифры
Число Римское обозначение:
1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M
Для закрепления в памяти буквенных обозначений цифр в порядке убывания существует мнемоническое правило:
Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх.
Соответственно M, D, C, L, X, V, I.
Примеры. Число Римское обозначение:
0 -
4 IV
8 VIII
9 IX
31 XXXI
46 XLVI
99 XCIX
666 DCLXVI
888 DCCCLXXXVIII
1668 MDCLXVIII
1989 MCMLXXXIX
2009 MMIX
3999 MMMCMXCIX
Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц.
Пример: число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемьдесят LXXX, восемь VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII.
Довольно часто, чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII - в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте (в типографском наборе это не используют из-за технической сложности). У других авторов черта сверху могла обозначать увеличение значения цифры в 1000 раз: VM = 6000.
Существует «сокращённый способ» для записи больших чисел, таких как 1999. Он не рекомендуется, но иногда используется для упрощения. Отличие состоит в том, что для уменьшения цифры слева от неё может писаться любая цифра:
- 999. Тысяча M, вычтем 1 (I), получим 999 (IM) вместо CMXCIX. Следствие: 1999 - MIM вместо MCMXCIX
- 95. Сто C, вычтем 5 (V), получим 95 (VC) вместо XCV
- 1950: тысяча M, вычтем 50 (L), получим 950 (LM). Следствие: 1950 - MLM вместо MCML.
Повсеместно записывать число «четыре» как «IV» стали только в XIX веке, до этого наиболее часто употреблялась запись «IIII». Однако запись «IV» можно встретить уже в документах манускрипта «Forme of Cury», датируемых 1390 годом. На циферблатах часов в большинстве случаев традиционно используется «IIII» вместо «IV», главным образом, по эстетическим соображениям: такое написание обеспечивает визуальную симметрию с цифрами «VIII» на противоположной стороне, а перевёрнутую «IV» прочесть труднее, чем «IIII». Применение.
В русском языке римские цифры используются в следующих случаях:
- номер века или тысячелетия: XIX век, II тысячелетие до н. э.;
- порядковый номер монарха: Карл V, Екатерина II;
- номер тома в многотомной книге (иногда - номера частей книги, разделов или глав);
- в некоторых изданиях - номера листов с предисловием к книге, чтобы не исправлять ссылки внутри основного текста при изменении предисловия;
- маркировка циферблатов часов «под старину»;
- иные важные события или пункты списка, например: V постулат Евклида, II мировая война, XXII съезд КПСС и т. п.
В других языках сфера применения римских цифр может иметь особенности, например, в западных странах римскими цифрами иногда записывается номер года.
Для записи чисел в римской системе используются два правила:
-1- каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него;
-2- каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему.
По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов, в ряде других случаев.
Выполните задания из карточек, на это вам отводится 10 минут.
