Арифметические операции в позиционных системах счисления

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110₂ и 11₂:

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления. Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

110₂ = 1 × 2² + 1 × 2¹ + 0 × 2⁰ = 6₁₀;

11₂ = 1 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 3₁₀;

6₁₀ + 3₁₀ = 9₁₀.

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:

1001₂ = 1 × 2³ + 0 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ = 9₁₀.

Сравним результаты - сложение выполнено правильно.

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов. В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 110₂ и 11₂:

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В качестве примера произведем умножение двоичных чисел 110₂ и 11₂:

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110₂ на 11₂:

Арифметические операции в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Аналогично можно выполнять арифметические действия в восьмеричной и шестнадцатерич-ной системах счисления. Необходимо только помнить, что величина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления:

Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.

Задания

1.22. Провести сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел 1010₂ и 10₂ и проверить правильность выполнения арифметических действий с помощью электронного калькулятора.

1.23. Сложить восьмеричные числа: 5₈ и 4₈, 17₈ и 41₈.

1.24. Провести вычитание шестнадцатеричных чисел: F₁₆ и А₁₆, 41₁₆ и 17₁₆.

1.25. Сложить числа: 17₈ и 17₁₆, 41₈ и 41₁₆

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ

С цифрами двоичного числа можно выполнять арифметические операции. При этом выполняются правила двоичной арифметики:

Все арифметические операции над двоичными числами можно свести к 2-м операциям: сложению и сдвигу кодов. Это позволяет технически реализовать четыре арифметических действия в одном арифметико-логическом устройстве, используя одни и те же электронные схемы. Впрочем, и в десятичной арифметике в конечном итоге выполняются те же действия – сложение и сдвиг.

Cложение двоичных чисел

Выполним сложение двух двоичных чисел 11001₂ и 10001₂

Задание:
Самостоятельно выполните сложение двоичных чисел:
11100₂ и 10011111₂

Вычитание двоичных чисел

Вычитание – обратная операция сложению так же может быть представлена в виде сложения, но только с отрицательным числом.
Выполним вычитание двух двоичных чисел 11001₂ и 10001₂

Задание:
выполните вычитание двух чисел 101110₂ и 1001₂

Умножение и деление двоичных чисел

Умножение и деление производится поразрядно и сводятся к двум операциям: сложению и сдвигу.
Выполним умножение двоичных чисел 110012 и 10012

Задание:
самостоятельно перемножьте числа 1110₂ и 10001₂

Деление так же можно представить как выполнение операций сложения и сдвига.

Задание:
выполните самостоятельно деление двоичного числа 1100110 на двоичное число 110

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ В ВОСЬМЕТИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЕ

Сложение и вычитание в 8-ной и 16-ной системах счисления

При выполнении действий сложения и вычитания в 8-ной системе счисления необходимо помнить:
в записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры восьмеричного алфавита;
основание восьмеричной системы счисления равен 8, т.е. переполнение наступает, когда результат сложения больше или равен 8. В этом случае для записи результата надо вычесть 8, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;
если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде 8 единиц.
Примеры.
Сложить восьмеричные числа 770₈ и 236₈.

Примеры на закрепление: выполнить действия в восьмеричной системе счисления.
715₈ + 373₈
524₈ + 57₈

Выполнить вычитание восьмеричных чисел 750₈ и 236₈.

Примеры на закрепление: выполнить действия в восьмеричной системе счисления.
137₈ - 72,3₈
436₈ - 257₈

При выполнении действий сложения и вычитания в 16-ной системе счисления необходимо помнить:
в записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры шестнадцатеричного алфавита (0-9, A-F)
Основание шестнадцатеричной системы счисления равно 16, т.е. переполнение наступает, когда результат сложения больше или равен 16. В этом случае для записи результата надо вычесть 16, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения;
если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде 16 единиц.

Примеры.
Сложить шестнадцатеричные числа B09₁₆ и EFA₁₆

Примеры на закрепление: выполнить действия в шестнадцатеричной системе счисления.
A13₁₆ + 1CF₁₆
F0B,8₁₆ + 1DA,C1₁₆

Выполнить вычитание шестнадцатеричных чисел B09₁₆ и 7FA₁₆.

Примеры на закрепление: выполнить действия в шестнадцатеричной системе счисления.
A13₁₆ - 1CF₁₆
DFA,B8₁₆ - 1AE,94₁₆