Соотношение между числами в системах счисления, используемых в ЭВМ
| 10-я система счисления | 2-я система счисления | 8-я система счисления | 16-я система счисления |
| А B C D E F |
| Отечест-венное обозначение | Десятичная система счисления | X10 |
| Двоичная система счисления | X2 | |
| Восьмеричная система счисления | X8 | |
| Шестнадцатеричная система счисления | AI16 | |
| Междуна-родное обозначение | Десятичная система счисления | D |
| Двоичная система счисления | B | |
| Восьмеричная система счисления | O | |
| Шестнадцатеричная система счисления | H |
Если особо не обозначено (например, число 173,5 или 1101,01), то имеет место всегда десятичная система, все остальные обязательно должны именоваться.
Преобразование чисел из одной системы счисления в другую
1. перевод чисел в десятичную систему.
Х2 > Х10
Для перевода из других систем счисления в десятичную, вычисляем полином (2)
Пример:
11011012 =>1·26 + 1·25 + 0·24 + 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 1·64 + 1·32 + 0·16 + 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1 = 10910;
2. перевод чисел из десятичной в другие системы счисления.
а) перевод целой части:
Выделим целую часть: NI=dn-1*bb-1+d0*b0
Далее разделим целую часть числа на основание, получим:
Остаток делим на основание, получаем значение числа d1 и остаток, и так далее, пока не получим последнюю цифру dn-1 (di
б) преобразование дробной части:
Выделяем отдельно дробную часть числа: 
Далее умножаем дробную часть на основание:
Остаток умножаем на основание b, получаем b-2 и остаток, и так далее, пока остаток не станет нулевым, или пока не будет достигнута требуемая точность представления числа.
Пример 1:
52,7510 -> в двоичную систему счисления;
а) 52: 2 = 26 – остаток 0 (младшая цифра)
26: 2 = 13 – остаток 0
13: 2 = 6 – остаток 1
6: 2 = 3 – остаток 0
3: 2 = 1 – остаток 1
1: 2 = 0 – остаток 1 (старшая цифра)
б) 0,75 х2 = 1,5 – остаток 1
0,5 х 2 = 1 – остаток 1 (младшая цифра);
->52,7510->110100,112
Пример 2:
123,1210 -> в восьмеричную систему счисления.
а) 123: 8 = 15 – остаток 3
15: 8 = 1 – остаток 7
1: 8 = 0 – остаток 1
б) 0,12 х 8 = 0,96 – остаток 0
0,96 х 8 = 7,68 – остаток 7
0,68 х 8 = 5,44 – остаток 5
0,44 х 8 = 3,52 – остаток 3, и т.д.
Тогда, 123,1210 -> 173,07538
Прямое и обратное двоично-восьмеричное преобразование
Правило: для перевода Х2>Х8 достаточно исходное двоичное число разбить на тройки двоичных чисел и каждой тройке поставить в соответствие восьмеричный эквивалент.
00 1010011,01101 0 приписываем недостающие нули
В старшем разряде недостающие цифры дополняются нулями, в дробной части недостающие цифры также дополняются нулями.
Следовательно, 123,328.
Для перевода Х8>Х2 к каждой восьмой цифре ставится двоичный эквивалент:
373,58 -> 011 111 011, 101
Преобразование Х2>Х16, Х16>Х2.
Двоичное число разбивается на тетрады (четвёрки) и каждой тетраде в соответствие ставится шестнадцатеричный эквивалент; а при преобразовании Х16>Х2 каждому шестнадцатеричному числу ставится в соответствие двоичная тетрада.
Пример:
1. Х2>Х16:
000 1 1111 0010,1010 10 00 -> 1F2,A816;
2. Х16>Х2:
ABC,DE16 -> 1010 1011 1100, 1101 1110.
3. Представить двоичное число 1010110101111 в восьмеричной системе счисления.
1 010 110 101 111
1 2 6 5 7
4. Представить двоичное число 1010110101111 в шестнадцатеричной системе счисления.
1 0101 1010 1111
1 5 A F
Основы двоичной арифметики
1. Сложение: 0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 -> 1 (перенос в старший разряд)
- Пример сложения многоразрядных чисел. Сложение чисел в двоичной системе счисления.
Запись:
2 10 0000000000000010
+3 +11 + 0000000000000011
5 101 0000000000000101 - Требуется сложить два числа 1810 и 2310
При сложении чисел надо обязательно проговаривать алгоритм сложения. Следует учитывать, что сложение, как обычно, нужно начинать с младшего разряда. Если сумма единиц разряда окажется равной или большей основания системы счисления, то возникает перенос единицы в старший разряд. После сложения cледует обязательно сделать обратный перевод и убедиться, что число 101 — действительно число 5 в десятичной системе счисления.
2. Вычитание: 0 – 0 = 0
1 – 1 = 0
1 – 0 = 1
0 – 1 = 1 -> заём из старшего разряда
Вычитание двоичных чисел. В компьютере вычитание заменяется сложением с отрицательным числом, представленным в дополнительном коде.
Запись:
14 1110 0000000000001110
-9 +1001 +1111111111110111
5 101 10000000000000101
Так как под целое число отводится 16 разрядов, то старшая единица теряется. Ответ получается 101.
3. Умножение: 0 х 0 = 0
1 х 0 = 0
0 х 1 = 0
1 х 1 = 1
Умножение чисел в двоичной системе счисления.
110
*101
110
+ 000
110
11110
Подчеркиваем, что при умножении 1•1 = 1 и 1•0 = 0. Анализируя примеры умножения в двоичной системе счисления, необходимо обратить внимание учащихся на важную особенность выполнения этой операции в данной системе счисления. Так как очередная цифра множителя может быть только 1 или 0, то промежуточное произведение равно либо множимому, либо 0. Таким образом, операция умножения в двоичной системе фактически не производится: в качестве промежуточного произведения записывается либо множимое, либо 0, а затем промежуточные произведения суммируются. Иначе говоря, операция умножения заменяется последовательным сложением.