Проверим адекватность квадратичной модели методом Фишера.




ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II»

(МГУПС(МИИТ))

 

Факультет «Транспортные средства»

Кафедра «Высшая математика и естественные науки»

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

По дисциплине

«Математическое моделирование »

 

 

_____________________

(отметка о зачете)

Рецензент: Ридель В.В. Студент: ГринчукИ.И.

Группа: ПСс(ЗПЭ-391)

Шифр: 1410-ц/ПСс-1786

_____________________ _____________________

подпись подпись

дата: ________________ дата: ________________

 

 

Москва 2017

Задание 1. Построить математическую модель механической системы, состоящей из пружины с жесткостью k, один конец которой жестко закреплен, а на другом находится тело массой m. Тело скользит по горизонтальному стержню: коэффициент вязкого сопротивления μ. Смещение тела из положения равновесия равно x 0.

Найти:

а) амплитуду, частоту и период свободных колебаний механической системы;

б) частоту и период затухающих колебаний системы;

в) уравнение огибающей кривой колебаний;

г) смещение, скорость и ускорение тела в момент времени t для затухающих колебаний.

Построить графики смещения свободных и затухающих колебаний системы в зависимости от времени.

k = 104 н/м, m = 1,1 кг, μ = 0,64, x0 = 0.13 м, t 1 = 4 с;

– абсолютная деформация пружины;

;

Предположим, что пружина работает в зоне упругой деформации, тогда, по закону Гука, сила упругости будет пропорциональна деформации. Сила упругости направлена в сторону положения равновесия.

Предположим, что скорости движения малы, тогда, по закону Кулона, сила сопротивления пропорциональна скорости и направлена противоположно ей.

;

Физический смысл: коэффициент жесткости пружины численно равен силе, возникающей при деформации пружины на единицу длины. Коэффициент вязкого сопротивления численно равен силе, возникающей при движении тела с единичной скоростью.

Движение груза может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона.

Гипотеза: объектом моделирования является тело массой , закрепленное на пружине. Тело представляем материальной точкой, положение которой совпадает с центром тела. Движение происходит в поле силы тяжести под действием силы упругости, силы сопротивления и силы нормального давления. Тогда можно использовать 2-ой закон Ньютона: если на тело массой действует сила , то оно будет двигаться в направлении силы с ускорением, пропорциональным силе и обратно-пропорциональным массе.

Здесь – главный вектор сил, действующих на тело.

Тогда: – математическая модель данной системы в векторной форме.

Для перехода к скалярной форме введем декартову систему координат. Составим проекцию уравнения на оси координат.

пр. y: , т.к. , значит ;

пр. x: ; т.к. , , , где ;

;

Получим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка относительно функции .

Добавим к нему начальные условия:

Таким образом, данная система является математической моделью, описывающей движение. Система представляет собой задачу Коши для линейного ОДУ 2-го порядка.

После того, как ввели исходные данные в Maxima, введем дифференциальное уравнение , заменив операторы дифференцирования и .

 

Для нахождения общего решения используем пункты меню, уравнения - решить ОДУ - общ. решение:

Полученное решение определяет смещение груза от времени. В правой части выражение в скобках составляет собой сумму ограниченных периодов функции.

Круговая частота и период .

Множитель – убывающая до нуля экспонента. Таким образом, данная функция описывает периодические затухающие колебания.

 

Вычисляем скорость и ускорение:

1. Скорость:

2. Ускорение:

В итоге мы получаем смещение, скорость и ускорение тела в момент времени для затухающих колебаний:

м

м/с

м/с2

 

Модель в случае отсутствия сопротивления получается из модели с сопротивлением при μ = 0, дифференциальное уравнение имеет вид:


 

Решение имеет вид:

Частное решение имеет вид:

Это уравнение описывает периодические колебания с постоянной амплитудой

A=0,13;

Уравнение огибающей кривой:

Cтроим графики смещения свободных и затухающих колебаний системы в зависимости от времени:

Ответ:

1. Амплитуда, частота и период свободных колебаний:

A=0,13; ;

 

2. частоту и период затухающих колебаний системы

и период .

  1. уравнение огибающей кривой колебаний;

  1. смещение, скорость и ускорение тела в момент времени t1 для затухающих колебаний:
    м/с2
  2. Оценка адекватности: модель с затуханием реальна, модель без затухания не реальна.

 

 


Задание 2. Провести идентификацию эмпирической математической модели.

А) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка

W = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, 0 £ x £ 10.

Б) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 3-го порядка

W = a 0 + a 1 x + a 2 x 2+ a 3 x 3 0 £ x £ 10.

Считаем, что величина х измеряется точно, а W – с ошибкой e, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией М (e) = 0, s2(e) = 1. Проверить адекватность модели методом Фишера и сравнить модели А) и Б) графически с моделью линейной регрессии.

№ Вар.\ № точки                      
                       
    21,1 20,7 32,7 40,8 54,6 53,4 66,5 77,7 81,6 88,8 98,3

 

Стохастические модели

Лекция 6
Точные величины и зависимости, используемые в детерминированных моделях, представляют собой лишь некоторые средние значения (математические ожидания) реальных случайных величин (зависимостей). Так, физические константы, характеризующие материалы и рабочие тела (предел прочности материала s, теплопроводность l, плотность r и т.д.) меняются в зависимости от партии материала и условий окружающей среды. Всегда имеется определенный разброс размеров деталей l, расходов топлива в системах подачи. Все это приводит к тому, что и результирующие функции, характеризующие процесс, также носят случайный характер. Результаты, полученные с помощью детерминированной модели, представляют собой математические ожидания этих характеристик. При этом конкретные данные для конкретной системы могут существенно отличаться от этих математических ожиданий. Например, ресурс конкретного двигателя может существенно отличаться от среднего ресурса двигателей данного типа. Для учета таких отличий вводятся всевозможные «запасы прочности», призванные гарантировать работоспособность реальных объектов при неблагоприятном стечении обстоятельств.

Значительно более полные и объективные результаты можно получить при переходе от детерминированных к стохастическим моделям, то есть при переходе от точно заданных величин к соответствующим случайным величинам.

При этом константы (s, l, r, l,…) заменяются случайными величинами xs, xl, xr, x l,…, подчиненными определенным законам распределения.

Однократное исследование стохастической модели приведет к некоторой случайной величине функции отклика x W, представляющей собой, вообще говоря, ограниченную ценность. Для получения значимых результатов необходимо провести многократное исследование модели и получить распределение результирующей характеристики в интересующем исследователя диапазоне. Поверхность отклика в этом случае представляет собой некий размытый слой переменной плотности.

Такой метод исследования стохастической модели получил название метода статистических испытаний или метода Монте-Карло.

Трудоемкость исследования стохастических моделей существенно выше, чем моделей детерминированных:

1. Значительно возрастает объем исходной информации: замена констант случайными величинами, введение законов распределения этих величин усложняют модель.

2. Для получения распределения результирующей функции необходимо многократное исследование модели.

С другой стороны, полученное при статистическом моделировании распределение характеристик системы дает в руки исследователя чрезвычайно ценную информацию: Такое распределение позволяет оценить не только среднее значение изучаемой величины, но и разброс этих значений, вероятности появления тех или иных значений при конкретном испытании (например, вероятность выхода из строя ДЛА через тот или иной промежуток времени) и их зависимость от различных факторов.

Очень часто используют нормальный или гауссовский закон распределения, для которого плотность вероятности f (x) и функция распределения R (х) задаются следующими соотношениями:

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (х, x+dx):

;

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (- ¥, х):

.

 

Для случайной величины x, распределенной по нормальному закону,
m = М (x), s = s(x) (Рис. 2.13, 2.14). Случайная величина распределена в интервале m± 3s. По нормальному закону распределены обычно характеристики материалов, размеры деталей, ресурсы элементов ДЛА.

Наряду с нормальным используются и другие законы распределения случайных величин. Например, равномерное распределение – задает равновероятностные на отрезке [ a, b ] случайные величины. (Рис. 2.15, 2.16). Плотность вероятности и функция распределения при равномерном распределении определяются по формулам:

Выбор закона распределения для конкретной случайной величины, входящей в стохастическую модель, может быть обоснован экспериментально или теоретически.

Конкретные параметры распределения (m, s,…) всегда определяются на основе экспериментальных данных. Оценка параметров нормального распределения на основе выборки { xi } из n случайных значений величины х дается соотношениями:

; .

При использовании метода статистических испытаний характеристики изучаемой системы оцениваются на основе некоторой ограниченной выборки реализаций. Поэтому важно определить достоверность этой оценки.

Вероятность р пребывания системы в некотором состоянии (например, вероятность того, что время работы элемента ДЛА до первого отказа составит не менее t часов), определяется частотой этого события при моделировании:

,

где n + – число реализаций, при которых наблюдалось изучаемое состояние системы (время работы ДЛА до первого отказа превысило t); n – общее число реализаций.

Эта оценка является приближенной, так как определяется на основе ограниченной выборки. Отношение называется выборочной статистикой.

Ошибка моделирования определяется отклонением выборочной статистики от вероятности

.

Можно показать, что эта ошибка удовлетворяет неравенству

, (2.20)

Здесь р – вероятность рассматриваемого состояния; a – вероятность невыполнения оценки (2.20) (уровень риска). Доверительная вероятность выполнения этой оценки равна 1– a.

Из (2.20) следует, что погрешность стохастического моделирования обратно пропорциональна . То есть увеличение точности при стохастическом моделировании требует значительного увеличения числа реализаций. Для уменьшения погрешности в 10 раз необходимо увеличить число реализаций (а значит и время счета) в 100 раз. Поэтому метод статистических испытаний не может дать решения с очень высокой степенью точности. Считается, что допустимая ошибка может составлять 1-5% максимальной величины, полученной при моделировании.

Величина ошибки зависит также от вероятности р оцениваемого состояния и допустимого уровня риска a. Обычно a задают на одном из фиксированных уровней
(a = 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; 0,1 …).

 

Решение

После компьютерной обработки исходной информации мы получили систему линейных алгебраических уравнений:

решив, которую мы получили: a0=17.3244,a1=8.1121,a2=-0.0014, и математическую квадратичную модель, имеющую вид:

Wm2(x):=17.3244+8.1121*x+(-0.0014)*x^2

При дальнейшей обработке исходных данных мы получили еще одну систему линейных алгебраических уравнений:

решив, которую мы получили: a0 =18.609, a1 =6.071,a2=0.533,a3=-0.035

Wm2(x):=18.609+6.071*x+0.533*x^2+(-0.035)*x^3

Занимаясь обработкой данных в Maxima, мы вычислили значения и для обеих моделей. Результаты вычислений помещены в таблицы ниже, для квадратичной и кубической моделей соответственно.

x Wm e
         
    21,1 20,7 32,7 40,8 54,6 53,4 66,5 77,7 81,6 88,8 98,3 18,609 25,178 32,601 40,663 49,151 57,850 66,545 75,026 83,074 90,477 97,021 2,491 -4,478 0,099 0,136 5,448 -4,450 -0,046 2,674 -1,474 -1,677 1,278

 

 

x Wm e
         
    21,1 20,7 32,7 40,8 54,6 53,4 66,5 77,7 81,6 88,8 98,3 17,346 25,444 33,542 41,640 49,738 57,836 65,935 74,033 82,131 90,229 98,327 3,755 -4,745 -0,842 -0,840 4,863 -4,436 0,565 3,667 -0,531 -1,427 -0,027

 

Далее строим график исходных данных и 3-х моделей:

 

Проверим адекватность квадратичной модели методом Фишера.

Определим число степеней свободы системы по формуле

fs = n – m – 1,

где n = 11 – количество экспериментальных точек; m = 3 – количество неизвестных коэффициентов. То есть fs = 8.

Выборочную дисперсию вычислили при обработке данных в Maxima.

Критерий Фишера вычисляется по формуле:

По статистическим таблицам при 5%-м уровне риска (a = 0,05) находим пороговое значение критерия Фишера:

Так как полученное значение F больше критического (порогового), гипотеза об адекватности модели реальному процессу непринимается.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: