ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II»
(МГУПС(МИИТ))
Факультет «Транспортные средства»
Кафедра «Высшая математика и естественные науки»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине
«Математическое моделирование »
_____________________
(отметка о зачете)
Рецензент: Ридель В.В. Студент: ГринчукИ.И.
Группа: ПСс(ЗПЭ-391)
Шифр: 1410-ц/ПСс-1786
_____________________ _____________________
подпись подпись
дата: ________________ дата: ________________
Москва 2017
Задание 1. Построить математическую модель механической системы, состоящей из пружины с жесткостью k, один конец которой жестко закреплен, а на другом находится тело массой m. Тело скользит по горизонтальному стержню: коэффициент вязкого сопротивления μ. Смещение тела из положения равновесия равно x 0.
Найти:
а) амплитуду, частоту и период свободных колебаний механической системы;
б) частоту и период затухающих колебаний системы;
в) уравнение огибающей кривой колебаний;
г) смещение, скорость и ускорение тела в момент времени t для затухающих колебаний.
Построить графики смещения свободных и затухающих колебаний системы в зависимости от времени.
k = 104 н/м, m = 1,1 кг, μ = 0,64, x0 = 0.13 м, t 1 = 4 с;
– абсолютная деформация пружины;
;
Предположим, что пружина работает в зоне упругой деформации, тогда, по закону Гука, сила упругости будет пропорциональна деформации. Сила упругости направлена в сторону положения равновесия.
Предположим, что скорости движения малы, тогда, по закону Кулона, сила сопротивления пропорциональна скорости и направлена противоположно ей.
;
Физический смысл: коэффициент жесткости пружины численно равен силе, возникающей при деформации пружины на единицу длины. Коэффициент вязкого сопротивления численно равен силе, возникающей при движении тела с единичной скоростью.
Движение груза может быть описано в соответствии с законами классической механики Ньютона.
Гипотеза: объектом моделирования является тело массой , закрепленное на пружине. Тело представляем материальной точкой, положение которой совпадает с центром тела. Движение происходит в поле силы тяжести под действием силы упругости, силы сопротивления и силы нормального давления. Тогда можно использовать 2-ой закон Ньютона: если на тело массой действует сила , то оно будет двигаться в направлении силы с ускорением, пропорциональным силе и обратно-пропорциональным массе.
Здесь – главный вектор сил, действующих на тело.
Тогда: – математическая модель данной системы в векторной форме.
Для перехода к скалярной форме введем декартову систему координат. Составим проекцию уравнения на оси координат.
пр. y: , т.к. , значит ;
пр. x: ; т.к. , , , где ;
;
Получим линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) второго порядка относительно функции .
Добавим к нему начальные условия:
Таким образом, данная система является математической моделью, описывающей движение. Система представляет собой задачу Коши для линейного ОДУ 2-го порядка.
После того, как ввели исходные данные в Maxima, введем дифференциальное уравнение , заменив операторы дифференцирования и .
Для нахождения общего решения используем пункты меню, уравнения - решить ОДУ - общ. решение:
Полученное решение определяет смещение груза от времени. В правой части выражение в скобках составляет собой сумму ограниченных периодов функции.
Круговая частота и период .
Множитель – убывающая до нуля экспонента. Таким образом, данная функция описывает периодические затухающие колебания.
Вычисляем скорость и ускорение:
1. Скорость:
2. Ускорение:
В итоге мы получаем смещение, скорость и ускорение тела в момент времени для затухающих колебаний:
м
м/с
м/с2
Модель в случае отсутствия сопротивления получается из модели с сопротивлением при μ = 0, дифференциальное уравнение имеет вид:
Решение имеет вид:
Частное решение имеет вид:
Это уравнение описывает периодические колебания с постоянной амплитудой
A=0,13;
Уравнение огибающей кривой:
Cтроим графики смещения свободных и затухающих колебаний системы в зависимости от времени:
Ответ:
1. Амплитуда, частота и период свободных колебаний:
A=0,13; ;
2. частоту и период затухающих колебаний системы
и период .
- уравнение огибающей кривой колебаний;
- смещение, скорость и ускорение тела в момент времени t1 для затухающих колебаний:
м/с2 - Оценка адекватности: модель с затуханием реальна, модель без затухания не реальна.
Задание 2. Провести идентификацию эмпирической математической модели.
А) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка
W = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, 0 £ x £ 10.
Б) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 3-го порядка
W = a 0 + a 1 x + a 2 x 2+ a 3 x 3 0 £ x £ 10.
Считаем, что величина х измеряется точно, а W – с ошибкой e, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией М (e) = 0, s2(e) = 1. Проверить адекватность модели методом Фишера и сравнить модели А) и Б) графически с моделью линейной регрессии.
№ Вар.\ № точки | ||||||||||||
21,1 | 20,7 | 32,7 | 40,8 | 54,6 | 53,4 | 66,5 | 77,7 | 81,6 | 88,8 | 98,3 |
Стохастические модели
|
Значительно более полные и объективные результаты можно получить при переходе от детерминированных к стохастическим моделям, то есть при переходе от точно заданных величин к соответствующим случайным величинам.
При этом константы (s, l, r, l,…) заменяются случайными величинами xs, xl, xr, x l,…, подчиненными определенным законам распределения.
Однократное исследование стохастической модели приведет к некоторой случайной величине функции отклика x W, представляющей собой, вообще говоря, ограниченную ценность. Для получения значимых результатов необходимо провести многократное исследование модели и получить распределение результирующей характеристики в интересующем исследователя диапазоне. Поверхность отклика в этом случае представляет собой некий размытый слой переменной плотности.
Такой метод исследования стохастической модели получил название метода статистических испытаний или метода Монте-Карло.
Трудоемкость исследования стохастических моделей существенно выше, чем моделей детерминированных:
1. Значительно возрастает объем исходной информации: замена констант случайными величинами, введение законов распределения этих величин усложняют модель.
2. Для получения распределения результирующей функции необходимо многократное исследование модели.
С другой стороны, полученное при статистическом моделировании распределение характеристик системы дает в руки исследователя чрезвычайно ценную информацию: Такое распределение позволяет оценить не только среднее значение изучаемой величины, но и разброс этих значений, вероятности появления тех или иных значений при конкретном испытании (например, вероятность выхода из строя ДЛА через тот или иной промежуток времени) и их зависимость от различных факторов.
Очень часто используют нормальный или гауссовский закон распределения, для которого плотность вероятности f (x) и функция распределения R (х) задаются следующими соотношениями:
Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (х, x+dx):
;
Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (- ¥, х):
.
Для случайной величины x, распределенной по нормальному закону,
m = М (x), s = s(x) (Рис. 2.13, 2.14). Случайная величина распределена в интервале m± 3s. По нормальному закону распределены обычно характеристики материалов, размеры деталей, ресурсы элементов ДЛА.
Наряду с нормальным используются и другие законы распределения случайных величин. Например, равномерное распределение – задает равновероятностные на отрезке [ a, b ] случайные величины. (Рис. 2.15, 2.16). Плотность вероятности и функция распределения при равномерном распределении определяются по формулам:
Выбор закона распределения для конкретной случайной величины, входящей в стохастическую модель, может быть обоснован экспериментально или теоретически.
Конкретные параметры распределения (m, s,…) всегда определяются на основе экспериментальных данных. Оценка параметров нормального распределения на основе выборки { xi } из n случайных значений величины х дается соотношениями:
; .
При использовании метода статистических испытаний характеристики изучаемой системы оцениваются на основе некоторой ограниченной выборки реализаций. Поэтому важно определить достоверность этой оценки.
Вероятность р пребывания системы в некотором состоянии (например, вероятность того, что время работы элемента ДЛА до первого отказа составит не менее t часов), определяется частотой этого события при моделировании:
,
где n + – число реализаций, при которых наблюдалось изучаемое состояние системы (время работы ДЛА до первого отказа превысило t); n – общее число реализаций.
Эта оценка является приближенной, так как определяется на основе ограниченной выборки. Отношение называется выборочной статистикой.
Ошибка моделирования определяется отклонением выборочной статистики от вероятности
.
Можно показать, что эта ошибка удовлетворяет неравенству
, (2.20)
Здесь р – вероятность рассматриваемого состояния; a – вероятность невыполнения оценки (2.20) (уровень риска). Доверительная вероятность выполнения этой оценки равна 1– a.
Из (2.20) следует, что погрешность стохастического моделирования обратно пропорциональна . То есть увеличение точности при стохастическом моделировании требует значительного увеличения числа реализаций. Для уменьшения погрешности в 10 раз необходимо увеличить число реализаций (а значит и время счета) в 100 раз. Поэтому метод статистических испытаний не может дать решения с очень высокой степенью точности. Считается, что допустимая ошибка может составлять 1-5% максимальной величины, полученной при моделировании.
Величина ошибки зависит также от вероятности р оцениваемого состояния и допустимого уровня риска a. Обычно a задают на одном из фиксированных уровней
(a = 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; 0,1 …).
Решение
После компьютерной обработки исходной информации мы получили систему линейных алгебраических уравнений:
решив, которую мы получили: a0=17.3244,a1=8.1121,a2=-0.0014, и математическую квадратичную модель, имеющую вид:
Wm2(x):=17.3244+8.1121*x+(-0.0014)*x^2
При дальнейшей обработке исходных данных мы получили еще одну систему линейных алгебраических уравнений:
решив, которую мы получили: a0 =18.609, a1 =6.071,a2=0.533,a3=-0.035
Wm2(x):=18.609+6.071*x+0.533*x^2+(-0.035)*x^3
Занимаясь обработкой данных в Maxima, мы вычислили значения и для обеих моделей. Результаты вычислений помещены в таблицы ниже, для квадратичной и кубической моделей соответственно.
№ | x | Wm | e | |
21,1 20,7 32,7 40,8 54,6 53,4 66,5 77,7 81,6 88,8 98,3 | 18,609 25,178 32,601 40,663 49,151 57,850 66,545 75,026 83,074 90,477 97,021 | 2,491 -4,478 0,099 0,136 5,448 -4,450 -0,046 2,674 -1,474 -1,677 1,278 |
№ | x | Wm | e | |
21,1 20,7 32,7 40,8 54,6 53,4 66,5 77,7 81,6 88,8 98,3 | 17,346 25,444 33,542 41,640 49,738 57,836 65,935 74,033 82,131 90,229 98,327 | 3,755 -4,745 -0,842 -0,840 4,863 -4,436 0,565 3,667 -0,531 -1,427 -0,027 |
Далее строим график исходных данных и 3-х моделей:
Проверим адекватность квадратичной модели методом Фишера.
Определим число степеней свободы системы по формуле
fs = n – m – 1,
где n = 11 – количество экспериментальных точек; m = 3 – количество неизвестных коэффициентов. То есть fs = 8.
Выборочную дисперсию вычислили при обработке данных в Maxima.
Критерий Фишера вычисляется по формуле:
По статистическим таблицам при 5%-м уровне риска (a = 0,05) находим пороговое значение критерия Фишера:
Так как полученное значение F больше критического (порогового), гипотеза об адекватности модели реальному процессу непринимается.