Следствия из преобразований Лоренца.




Лекция №8.

Принципы относительности.

Преобразования Лоренца.

Следствия из преобразований Лоренца.

Принципы относительности.

Классическая и механика, основана на принципе относительности Галилея, согласно

которому все законы механики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Математически принцип относительности в классической механике выражается с помощью преобразования Галилея — закона сложения скоростей при переходах от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Согласно этому закону скорость тела в неподвижной системе отсчета представляет собой сумму скорости тела по отношению к движущейся системе отсчета и скорости самой системы отсчета по отношению к неподвижной. Для всех наблюдаемых движений в природе, скорости которых малы по сравнению со скоростью света, этот закон выполняется с точностью, которая не давала оснований сомневаться в его справедливости вплоть до конца 19-го столетия.

Измерения скорости света, проведенные с большой точностью, показали, что закон сложения скоростей Галилея не выполняется для световых лучей. Скорость света, измеренная в движущейся системе координат, оказалась в точности такой же, как и для неподвижной системы отсчета.

Таким образом, был установлен экспериментальный факт независимости скорости света от скорости движения источников либо приемников света. Другими словами, было установлено, что скорость света является абсолютной постоянной величиной, равной скорости света в пустоте – .

Этот факт невозможно совместить с принципом относительности Галилея.

Возникшее противоречие в классической механике привело А. Эйнштейна к необходимости допустить, что классическая механика справедлива лишь для скоростей малых по сравнению со скоростью света. При скоростях движения, сравнимых со скоростью света, справедлива созданная А. Эйнштейном механика специальной теории относительности, или, как ее называют, релятивистская механика.

Принцип относительности Эйнштейна состоит в том, что не только законы механики, но и вообще все физические законы должны не зависеть от выбранной инерциальной системы отсчета.

 

 

Преобразования Лоренца.

Пусть имеются две инерциальные системы отсчета и .

Предполагается, что система движется со скоростью – вдоль оси , в то время как система неподвижна.

Предположим, что происходит какое-то событие.

В системе , оно характеризуется значениями координат и времени x, у, z, t; в системе — значениями координат и времени x', y', z', t'.

Связь между значениями координат в выделенных системах отсчёта даётся с помощью введения, так называемого, Лоренц-фактора – .

 

 

ПРИМЕЧАНИЕ.

Лоренц-фактором называется величина

,

 

где относительная скорость, .

 

 

Итак, для координаты оси (вдоль которой происходит движение!):

 

, . (1)

 

Координаты по другим ортогональным осям остаются неизменными,

 

. (2)

 

Преобразования времени:

 

, . (3)

 

Формулы (1)÷(3) называются преобразованиями Лоренца.

В преобразованиях Лоренца «перемешаны» координаты и время. Например, время в системе определяется не только временем в системе , но также и координатой . В этом проявляется взаимосвязь пространства и времени.

В пределе при и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Таким образом, различие в течение времени в разных инерциальных системах отсчета обусловлено существованием предель­ной скорости распространения взаимодействий. При скоростях много меньших скорости света (т. е. при β << 1) преобразования Лоренца практически не отличаются от преобразований Галилея. Следовательно, преобразования Галилея сохраняют значение для скоростей, малых по сравнению со скоростью света.

При выражения для x, t, x' и t' в формулах (1) и (3) становятся мнимыми. В этом проявляется то обстоятельство, что движение со скоростями, большими с, невозможно. Невозможна даже система отсчета, движущаяся со скоростью , потому что при и знаменатели формул для x и t обращаются в нуль.

 

Следствия из преобразований Лоренца.

Из преобразований Лоренца можно получить следствия, казалось бы, противоречащие нашему повседневному опыту. Это противоречие обусловлено тем, что наш опыт относится к процессам, протекающим со скоростями, весьма малыми по сравнению со скоростью света, и поэтому явления, которые мы сейчас рассмотрим, нами не ощущаются. Однако они с несомненностью присущи миру элементарных частиц, в котором движение со скоростями, близкими к c, представляет собой заурядное явление.

 

1. Относительность понятия одновременности событий, причинно не связанных друг с другом. Количественно, это следствие устанавливается формулами (3).

2. Различный промежуток времени между событиями в разных системах отсчёта. Справедливость утверждения легко установить с помощью формул (3), если промежуток времени определять как разность между начальным и конечым значениями времени.

Очевидно, что

или .

 

3. Различная длина тел в разных системах отсчета.

Если длину объекта в направлении движения рассматривать как разность координат его граничных точек, то длина движущегося стержня оказывается меньше той, которой обладает стержень в состоянии покоя. Количественно, этот факт утанавливается зависимостями (1).

4. Релятивистский импульс, релятивистское выражение для энергии.

Формулу, связывающую скорости движения в выделенных системах отсчёта, можно получить дифференцированием зависимостей (1) с учётом соотношений (3).

После выполнения математических операций и необходимых тождественных преобразований получаем, что

 

(3а)

Выражение для импульса релятивистской частицы, движущейся со скоростью – , может быть записано в виде (опуская соответствующие математические преобразования с использованием соотношений для координаты и времени – (1) и (3)):

, (4)

 

где относительная сворость релятивистской частицы.

 

В релятивистской механике справедливым остается выражение, описывающее второй закон Ньютона:

или . (5)

Выражения для полной и кинетической энергии релятивистской частицы имеют вид:

 

и , (6)

где E0 = m·c2энергия покоя, то есть, энергия релятивистской частицы

при .

Пример №1.

Ионизованный атом, вылетев из ускорителя заряженных частиц со скоростью , испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно ускорителя.

Решение.

Формула, связывающая скорости движения в различных системах отсчёта, – это формула (3а):

 

В терминах поставленной задачи можно считать, что скорость фотона равне скорости света в вакууме, то есть . Скорость ионизованного атома на выходе ускорителя – это .

Подставляя числа в формулу для скорости, находим, что

 

.

Ответ: скорость фотона относительно ускорителя равна – .

Пример №2.

Кинетическая энергия частицы оказалась равной её энергии покоя. Определить скорость частицы.

Решение.

Из формулы (6) получаем, что при

 

Ответ: в терминах скорости света в вакууме скорость частицы будет равна

.

Примечание. м/c.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: