Граничные условия для векторов поля световой волны на границе между двумя диэлектриками при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости имеют вид: 
(4.25) – (4.26)
где, n – индексы тангенциальной (касательной к границе раздела) и нормальной компоненты вектора соответственно.
Пусть на плоскую границу двух диэлектриков с абсолютными (не относительными!) проницаемостями (1; 1) и (2; 2) (магнитную проницаемость пока оставим в общем виде) падает под некоторым углом плоская световая волна (рис.4.3). Тогда для напряженностей электрического поля в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно имеем:
(4.27)
где 
– волновые числа, причем 
– скорости света в 1-й и 2-й средах.
Законы отражения и преломления света на границе полностью определяются граничными условиями (4.25) и (4.26). Для электрического поля с учетом (4.27) граничные условия принимают вид:
(4.28)
Отметим, что начало отсчета вектора r (точка 0’) совершенно произвольно. Если 0’ лежит не на поверхности раздела, то 
. (4.29)
При этом в (4.28): 
. Но для любой точки поверхности 
, поэтому удобно точку 0’ поместить на границе раздела.
Равенство (4.28) будет соблюдаться для произвольных значений r и t только при 
(4.30)
. (4.31)
Отсюда следует, что 
. (4.32)
(Частота ЭМВ при отражении и преломлении не меняется.)
Выберем точку 0’ так, чтобы вектор 
(т.е. направим перпендикулярно плоскости XZ рис.4.3). Тогда 
, а из (4.31) следует, что и 
. Отсюда следует, что волновые векторы падающей, отраженной и преломленной волн (условно пока назовем направление k лучом) лежат в одной плоскости. Плоскость, в которой лежат волновой вектор k 0 и нормаль к поверхности раздела n в точке падения луча, называется плоскостью падения. Из рис.4.3 видно, что
(4.33)
Тогда с учетом (4.31) получаем:
(4.34)
или из (4.27) и (4.32): 
(4.35)
Вспомним, что 
– показатели преломления. Из (4.35) можно сделать следующие выводы:
1. 
. (4.36)
2. 
. (Закон Снеллиуса) (4.37)
Введем обозначение
– относительный показатель преломления. (4.38)
Тогда закон Снеллиуса примет вид:
(4.39)
При 
(падение из менее оптически плотной в более оптически плотную среду) 
(рис.4.4). При 
(рис.4.5).
Вообще говоря, вектор E 0 в падающей волне может иметь произвольный азимут (угол между E и плоскостью падения. Разложим векторы электромагнитного поля на две составляющие: перпендикулярные плоскости падения (будем обозначать их индексом s (или ^) и параллельные плоскости падения (будем обозначать их индексом p (или ||)) (рис.4.6):
(4.40)
Видно, что векторы 
и 
составляют правовинтовые тройки векторов и образуют сами плоские ЭМВ. Кроме этого видно, что 
, т.е. плотность потока энергии исходной волны равна сумме плотностей потока энергии волн, на которые она разлагается.
Т.о. плоскую волну с произвольным азимутом можно разложить на сумму волн, у одной из которых E p (p – поляризация) лежит в плоскости падения, а у другой E s (s – поляризация) – перпендикулярна ей. Изучив поведение этих волн на границе с учетом принципа суперпозиции и аддитивности (в данном случае) плотностей потока энергии, получим поведение ЭМВ с произвольным азимутом.
12 Отражение и преломление s- поляризованной ЭМВ. (Рис.4.7)
Введем единичные векторы в направлении волновых векторов:
(4.41)
Как направлены векторы E 1 и E 2 заранее не известно. Направим условно их так, как показано на рис.4.7. Если знак получится отрицательный, значит векторы направлены в противоположную сторону.
Граничные условия для s –поляризации (индексы s опустим):
(4.42) – (4.43)
Обозначим 
– волновое сопротивление (импеданс)среды. (Для вакуума.) В оптике, в отличие от электричества, понятие волнового сопротивления среды практически не используется. Но для удобства записи мы им временно воспользуемся. Тогда
(4.44)
Из рис.4.7 можно найти связь 
:
(4.45)
Для дальнейшего использования в (4.43) получим из (4.44) и (4.45) скалярное произведение для любой из рассматриваемых волн:
. (4.46)
С учетом известной из векторного анализа формулы
(4.47)
получаем:
(4.48)
Тогда из (4.43) имеем:
Соотношения (4.49) и (4.42) совместно можно записать в виде:
(4.49)
(4.50)
Обозначим:
– ампл. коэффициент отраж. (4.51)
– амплитудный коэффициент пропускания. (4.52)
Учтем, что 
(4.53)
При 
система (4.50) имеет действительное решение для всех углов 0. Если 
она имеет действительное решение лишь для углов 
(подробнее этот случай рассмотрим позднее). Тогда имеем:
(4.54) – (4.55)
(Обобщенные формулы Френеля для s – поляризации)
Для диэлектриков в оптическом диапазоне обычно 
. Тогда из (4.54) и (4.55) получим общепринятые формулы Френеля для s – поляризации:
(4.56) – (4.57)
Графики зависимостей 
и 
для 
приведены на рис.4.8. При отражении света от диэлектрика с 
фаза отраженной волны изменяется на. При преломлении в этом случае изменения фазы нет. При отражении света от диэлектрика с 
скачка фазы на не происходит ни для отраженной, ни для преломленной волны (для углов 
рассмотрение – ниже).
Отражение и преломление p– поляризованной ЭМВ.
Рассмотрение в данном случае проводится аналогично случаю s –поляризации. Для этого учтем, что
(4.58) – (4.59)
Отсюда 
.(4.60)
Граничные условия для p –поляризации принимают вид:
(4.61) – (4.62)
Подставляя (4.60) в (4.61), получаем:
4.63) 
. (4.64)
Для действительных углов преломления получаем обобщенные формулы Френеля для p–поляризации
(4.65) – (4.66)
или для диэлектриков с 1 = 2:
(4.67) – (4.68)
Графики зависимостей 
и 
для 
приведены на рис.4.10.
Рис. 4.10 (Нарисовать забыл)
14 ЯВЛЕНИЕБрюстера. Из формулы (4.67) и из графика рис.4.10 видно, что для p –поляризованной волны при некотором угле падения 
, называемом углом Брюстера, отраженная волна отсутствует, т.е. 
. Это явление называется явлением Брюстера (Brewster David, 1781 – 1868) (1815 г.). Для угла Брюстера справ. следующие соотношения:
(4.69)
При переходе через угол Брюстера фаза колебаний отраженной волны скачком меняется на.
Заметим, что явлении Брюстера наблюдается тогда, когда направления преломленной и отраженной волны ортогональны. С физической точки зрения это можно объяснить следующим образом. Если связывать наличие отраженной волны с вынужденными колебаниями электронов во второй среде, то в направлении, перпендикулярном преломленной волне, не должна распространяться энергия, т.к. образующийся при этом диполь не излучает в направлении собственных колебаний. При 
при падающей волне с произвольным азимутом отражается лишь s – поляризованная компонента. Это является одним из способов получения линейно-поляризованного света. Пример. Стопа Столетова. При нормальном падении света (
) понятия s– и p – поляризаций теряют смысл и формулы (4.54), (4.55), (4.65) и (4.66) дают один и тот же результат (для диэлектрика 
): 
(4.70) – (4.71)
(Знак в (4.70) не учтен).
Энергетические соотношения при преломлении и отражении. Энергетическим коэффициентом отражения 
называется абсолютное значение отношения нормальных компонент векторов Пойнтинга в отраженной и падающих волнах:
. (4.72)
Энергетический коэффициент пропускания 
вводится аналогичным образом для преломленной волны:
(4.73)Т.к. 
,(4.74)
(4.75)
то для имеем: 
(4.76)
(4.77)
или с учетом (4.54), (4.55), (4.65), (4.66):
; (4.78)
; (4.79)
(4.80)
. (4.81)
При 0 = 0 для 1 = 2
;(4.82) 
.(4.83)
Прямой проверкой можно показать, что
. (4.84)
Это выражает закон сохранения энергии при отражении и преломлении света на границе раздела двух сред. Графики для 
изображены на рис.4.11.
14. Явление полного внутреннего отражения. При падении света на границу двух диэлектриков, для которых 
(рис.4.12), из закона Снеллиуса следует, что существует предельный (или критический) угол п. падения, при котором угол преломления 
. Тогда
.(4.85)При 
угол преломления 2 имеет обычную геометрическую интерпретацию, и коэффициенты R и T являются вещественными.
Когда угол падения 
, не существует вещественного угла преломления 2, т.к. закон Снеллиуса дает для sin2 значение больше единицы, а для cos2 – чисто мнимое значение:
(4.86)
Но формулы Френеля останутся справедливыми и в этом случае, если закон преломления рассматривать просто как определение входящих в них величин sin2 и cos2 в соответствии с (4.86). Справедливость понимаемых таким образом формул Френеля следует из того, что они обеспечивают выполнение граничных условий и в этом случае.
Рассмотрим сначала световую волну во второй среде (преломленную) в общем случае:
(4.87)
В такой записи сомножитель I означает комплексную амплитуду волны II, распространяющейся вдоль оси X со скоростью 
. Подставим (4.86) в (4.87):
. (4.88)
Знак (+) в первой экспоненте соответствует безграничному возрастанию поля в среде, что лишено физического смысла. Поэтому остается (–), что соответствует быстро убывающей с ростом z амплитуде волны, распространяющейся во второй среде вдоль X. Практически эта неоднородная волна существует лишь в поверхностном слое второй среды толщиной порядка длины волны. Причем фазовая скорость этой неоднородной (и соответственно не плоской) зависит как от свойств среды, так и от угла падения.
Формулы Френеля для отраженной волны ((4.56) и (4.67) с учетом (4.86)) имеют вид:
; (4.89)
. (4.90)
Видно, что энергетические коэффициенты 
при углах падения больше критического (рис.4.13). Поэтому это явление называется полным внутренним отражением(ПВО). При этом волна и соответствующая доля энергии проникают через границу раздела во вторую среду на некоторую глубину d (глубину проникновения) (амплитуда поля на глубине d падает в е раз): (4.91)
движутся вдоль поверхности раздела и затем возвращаются в первую среду. Места входа энергии во вторую среду и ее возвращения в первую смещены друг относительно друга. Амплитуды p– и s– компонент отраженной волны не изменяются по абсолютному значению, но испытывают различные фазовые сдвиги. Если представить, что
(4.92)
то
(4.93)
.Обозначим 
(4.94)
Тогда 
. (4.95)
Примеры:1. Призма–крыша. 2.Световоды. 3.Миражи.
4.Ромб (параллелепипед) Френеля (
).