И хотя сегодня принцип нивелирования остался неизменным, геодезические работы больше не останавливаются просто на определении отметок точек. Сегодняшние требования к геодезическим инструментам определяют нивелир как комплексную эргономичную измерительную систему, которая не только является полностью автоматизированной системой для сбора и обработки данных в цифровом виде, но и обеспечивает исключительную эффективность выполнения работ при использовании самых современных технологий.
Триангуляция Делоне и способы ее редактирования
Массив точек для регулярных моделей может быть представлен в следующем виде:
F, m, n, X 0, Y 0, Z 11,…, Z 1 m ,…, Znm,
где F – шаг сетки; m – число точек по горизонтали; n – число точек по вертикали; X 0, Y 0 – координаты начальной точки сетки, Z 11,…, Z 1 m ,, …, Znm – отметки точек в узлах сетки.
Таким образом, для однозначного представления регулярной сетки размерностью m ´ n требуется хранить всего m ´ n+ 5 чисел. Однако для адекватного представления поверхности с заданной точностью требуется высокая плотность точек, что сопряжено со значительной многодельностью работ по подготовке исходной информации. К тому же, в виду ограниченности быстродействия компьютеров и массивов обрабатываемых данных приходится выбирать между точностью представления (размером ячейки) и размером обрабатываемой поверхности.
Для нерегулярных моделей массив точек описывается последовательностью:
S Xi, Yi, Zi, Ti, Ri, Li,
где Xi, Yi, Zi – координаты i -той точки (массив i = 1, …,k); Ti, Ri, Li – соответственно принадлежность i -той точки Ti треугольнику, связь i -той точки с Ri и Li точками в треугольнике.
Размерность нерегулярной сетки составляет 6k, что почти в 6 раз выше размерности регулярной сетки, но, в тоже время, для адекватного отображения поверхности требуется существенно меньшее количество точек.
Задача построения поверхности способом триангуляции является одной из базовых в вычислительной геометрии. К ней сводятся многие другие, связанные с моделированием поверхностей и решением пространственных задач в машинной графике, системах автоматизированного проектирования и геоинформационных системах.
Задачей построения триангуляции по заданному набору точек называется задача соединения точек непересекающимися отрезками так, чтобы образовалась триангуляция. Эта задача не является однозначной, поэтому возникает вопрос, какая из двух различных триангуляций лучше (оптимальна)?
Рассмотрим некоторые алгоритмы построения триангуляции.
Триангуляция Делоне, названная в честь советского математика Б. Н. Делоне (1934 г.), основана на ряде практических свойств:
· триангуляция, удовлетворяет условию Делоне, если внутрь окружности, описанной вокруг любого построенного треугольника, не попадает ни одна из заданных точек триангуляции;
· пара соседних треугольников триангуляции удовлетворяет условию Делоне, если этому условию удовлетворяет триангуляция, составленная только из этих двух треугольников;
· триангуляции удовлетворяет условию Делоне, если этому условию удовлетворяет триангуляция, составленная только из этого треугольника и трех его соседей (если они существуют).
· триангуляция Делоне обладает максимальной суммой минимальных углов всех своих треугольников среди всех возможных триангуляций;
· триангуляция Делоне обладает минимальной суммой радиусов окружностей, описанных около треугольников, среди всех возможных триангуляций.
Триангуляцию Делоне можно получить из любой другой триангуляции по тому же массиву точек, последовательно перестраивая пары соседних треугольников С ABC и D BCD, не удовлетворяющих свойствам Делоне, в пары треугольников D ABD и D ACD (рис. 4.8). Такую операцию называют флип.
Рис. 4.8. Перестроение треугольников (флип)
Важно, что операцию флип можно применять не только в составе алгоритма построения оптимальной триангуляции поверхности, но и в составе инструментов диалогового ее редактирования, что позволяет получать желаемые для проектировщика свойства этой поверхности.
Другим алгоритмом, который достаточно просто и наглядно демонстрирует последовательность построения оптимальной триангуляции, является жадный алгоритм. В качестве условия оптимизации здесь принята минимальная сумма длин всех ребер среди всех возможных триангуляций, построенных на тех же исходных точках. Этот алгоритм выполняется всего в 2 шага.
· Генерируется список всех возможных отрезков (рис.а), соединяющих пары исходных точек, и он сортируется по длинам отрезков.
· Начиная с самого короткого, последовательно выполняется вставка отрезков в триангуляцию. Если отрезок не пересекается с другими ранее вставленными отрезками, то он вставляется, иначе – отбрасывается (рис.б).
Рис. Графическая интерпретация жадного алгоритма
а) соединение всех точек между собой; б) конечная триангуляция
Заметим, что если все возможные отрезки имеют разную длину, то результат работы этого алгоритма однозначен. Иначе он зависит от порядка вставки отрезков одинаковой длины.
Трудоемкость работы жадного алгоритма составляет N2logN, где N – число точек в массиве. В связи со столь большой трудоемкостью на практике этот алгоритм применяется редко.
От выбора того или иного алгоритма триангуляции существенно зависит эффективность работы всей системы проектирования, а также достоверность получаемых результатов. Существенным является и вопрос выбора структуры данных для представления триангуляции.
В триангуляции можно выделить 3 основных вида объектов: узлы (точки, вершины), ребра (отрезки) и треугольники. В процессе выполнения конкретных проектных задач возникает необходимость выполнения вычислительных операций с этими объектами.
Приведем лишь некоторые из возможных операций.
· Треугольник ® узлы: требуется для получения высотной отметки проектной точки, расположенной внутри конкретного треугольника. Для этого устанавливаются координаты узлов (вершин) этого треугольника, а далее - в уравнение плоскости, проходящей через эти три узла, подставляются координаты x,y проектной точки.
· Узел ® ребра: требуется для анализа водоотвода на рассматриваемой поверхности. По узлу устанавливается список всех смежных ребер, каждое из которых анализируется на возможность "перелива" воды.
· Треугольник ® треугольник: требуется для построения изолиний рассматриваемой поверхности. По треугольнику устанавливается список соседних с ним треугольников и на них вычисляется геометрическое место точек с заданной высотной отметкой.