Система переменных данной экономико-математической задачи представлена основными и вспомогательной переменными. За основные переменные принимаются:
- площадь посева j -ой сельскохозяйственной культуры;
- поголовье j -го вида сельскохозяйственных животных;
- объем приобретения j -го вида корма или кормовой добавки;
| x1 | - | Озимая пшеница товарная |
| x2 | - | Озимая пшеница фуражная |
| x3 | - | Ячмень товарный |
| x4 | - | Ячмень фуражный |
| x5 | - | Соя |
| x6 | - | Горчица |
| x7 | - | Сахарная свекла |
| x8 | - | Подсолнечник |
| x9 | - | Кукуруза на силос |
| x10 | - | Кукуруза на зеленый корм 1 срока сева |
| x11 | - | Кукуруза на зеленый корм 2 срока сева |
| x12 | - | Однолетние травы на сено |
| x13 | - | Однолетние травы на сенаж |
| x14 | - | Однолетние травы на зеленый корм 1 срока сева |
| x15 | - | Однолетние травы на зеленый корм 2 срока сева |
| x16 | - | Многолетние травы на сено |
| x17 | - | Многолетние травы на сенаж |
| x18 | - | Многолетние травы на зеленый корм |
| x19 | - | Озимые на зеленый корм |
| x20 | - | Пар |
| x21 | - | Комбикорм |
| x22 | - | Патока |
| x23 | - | Премикс |
| x24 | - | Молоко на корм |
| x25 | - | Обрат |
| x26 | - | ЗЦМ |
| x27 | - | Поголовье крупного рогатого скота |
Вспомогательная переменная (
) используется для определения суммы производственных затрат по предприятию.
| x28 | - | Производственные затраты |
Все условия задачи записаны в виде линейных уравнений и неравенств (ограничений), которые можно разбить на группы:
· по использованию ресурсов;
· по выполнению агротехнических требований возделывания сельскохозяйственных культур;
· по выполнению договорных обязательств по реализации продукции;
· по обеспеченности потребностей животноводства кормами собственного производства;
· по определению стоимости производственных затрат.
Основными ограничениями (с 1 по 2) являются условия, ограничивающие систему фактическим наличием ресурсов. В данном конкретном примере ограничивающими факторами будут являться площадь пашни и поголовье сельскохозяйственных животных.
В общем виде ограничение по использованию ресурсов записывается следующим образом:
,
где - площадь посева j -ой сельскохозяйственной культуры;
- поголовье j -го вида скота;
- затраты ресурсов i -го вида в расчете на 1 га посева j -ой сельскохозяйственной культуры;
- затраты ресурсов i -го вида в расчете на 1 структурную голову j -го вида скота;
- наличие ресурсов i -го вида.
Поскольку по условиям задачи рассматривается только два вида ресурсов, то будут рассмотрены два частных случая ограничения по ресурсам
,
где - затраты пашни в расчете на 1 га посева j -ой сельскохозяйственной культуры;
- наличие пашни в хозяйстве.
Таким образом, ограничение, гарантирующее, что площадь посева всех сельскохозяйственных культур и пара не превысит площади пашни, имеющейся в наличии, будет записано в следующем виде
1X1+1X2+1X3+1X4+……+1X17+1X18+1X19+1X20<=5000 i=1.
Коэффициенты при Xj означают, что для возделывания 1 га каждой сельскохозяйственной культуры необходимо затрачивать 1 га пашни.
Так как по условию задачи поголовье сельскохозяйственных животных должно быть сохранено на фактическом уровне, то второе основное ограничение в структурном виде записывается как:
,
где - бинарные коэффициенты связи (равны либо 0, либо 1) по i -му виду сельскохозяйственных животных;
- фактическое поголовье i -го вида сельскохозяйственных животных в хозяйстве.
То есть сохранение существующего поголовья крупного рогатого скота обеспечивается через реализацию условия
1X27=400 i=2.
При необходимости в систему основных ограничений могут быть введены условия по использованию сенокосов, пастбищ, трудовых и других ресурсов.
Первую группу дополнительных ограничений (с 3 по 12) составляют ограничения по выполнению агротехнических требований, соблюдение которых необходимо для соблюдения научно обоснованного чередования сельскохозяйственных культур.
Эти требования представлены условиями двух видов: во-первых, по насыщению севооборота отдельными культурами или группами культур; во-вторых, по обеспечению озимых культур хорошими предшественниками.
Ограничение по насыщению севооборота отдельными культурами или группами культур в структурном виде может быть записано как
,
где Qi - верхние или нижние пределы насыщения севооборотов отдельными сельскохозяйственными культурами или группами культур.
Например, ограничение по насыщению севооборота зерновыми и зернобобовыми культурами может быть записано следующим образом:
1X1+1X2+1X3+1X4+1X5+1X19 > =2500 i=3,
1X1+1X2+1X3+1X4+1X5+1X19 <=3000 i=4.
Ограничение по насыщению севооборота озимыми:
1X1+1X2+1X19 > =1000 i=5,
1X1+1X2+1X19 <=1500 i=6.
Аналогично заполняются ограничения по насыщению севооборота горчицей и соей, сахарной свеклой, подсолнечником, паром.
Информация о пределах насыщения севооборота отдельными сельскохозяйственными культурами или группами культур берется из таблицы 21 (столбцы 2 и 4).
Ограничение по обеспечению озимых культур предшественниками в структурном виде может быть записано как:
,
где - площадь посева j -ой озимой культуры;
- площадь посева j -ой сельскохозяйственной культуры;
- коэффициент возможного использования посевов j -ой сельскохозяйственной культуры в качестве предшественника под озимые.
Данное ограничение может быть записано следующим образом
1X1+1X2-1X5-1X10-1X12-1X13-1X14-1X15-0,33X16-0,33X17-0,33X18-1X20<=0 i=12.
Коэффициент 0,33 при переменных, означающих многолетние травы, означает, что планируемый срок использования многолетних трав в хозяйстве составляет три года, поэтому ежегодно третья часть многолетних трав запахивается и может быть использована в качестве предшественника под озимые. Если срок эксплуатации многолетних трав будет равен четырем годам, то данный коэффициент будет равен 0,25.
Вторую группу дополнительных ограничений (с 13 по 16) составляют ограничения по выполнению договорных обязательств по реализации продукции.
Эти ограничения гарантируют, что товарной продукции по тем ее видам, на реализацию которой заключены договора, будет произведено не менее заданных объемов
,
где Xj - площадь посева j -ой сельскохозяйственной культуры или поголовье j -го вида скота;
rij - выход продукции i -го вида в расчете на 1 га посева j -ой сельскохозяйственной культуры или 1 структурную голову j -го вида скота;
- минимально необходимый объем производства товарной продукции i- го вида.
По условиям задачи хозяйство заключило договора на реализацию трех видов продукции: пшеницы, ячменя, сахарной свеклы и молока. Первые три ограничения будут записаны следующим образом:
34,74X1>=23000 i=13,
30,02X3>=12000 i=14,
450X7>=950000 i=15.
Ограничение по реализации молока будет иметь несколько иной вид
-1X24+51,10X27>=20000 i=16.
Поскольку потребность в молоке на корм планируется удовлетворять за счет молока собственного производства, а его объем будет определяться в ходе решения задачи, то в данном ограничении из объема валового производства молока (51,10X27) необходимо вычесть потребность в молоке на корм (X24).
Информация о выходе товарной продукции с 1 га посева соответствующих сельскохозяйственных культур берется из столбца 7 таблицы 24.
Третью группу дополнительных ограничений (с 17 по 36) составляют ограничения по обеспечению потребности отрасли животноводства в кормах. Эти ограничения гарантируют, что эти потребности будут удовлетворены как за счет собственных, так и приобретенных кормов.
,
где 
- выход корма i -го вида в расчете на 1 га посева j -ой сельскохозяйственной культуры;
- содержание питательных веществ i -го вида в единице приобретаемого j -ого вида корма или j -ой кормовой добавки;
- потребность в корме i -го вида в расчете на 1 структурную голову j -ого вида сельскохозяйственных животных.
Ограничение по удовлетворению общей потребности отрасли животноводства в кормах может быть записано следующим образом
0,97X1+45,44X2+10,30X3+44,83X4+…….+0,34X24+0,13X25+2,40X26-85,77X27>=0 i=17.
По обеспечению рациона кормления переваримый протеином
0,08X1+3,76X2+0,43X3+2,98X4+…….+0,05X24+0,04X25+42,60X26-6,08X27>=0 i=18.
В ограничениях 17 и 18 информация о выходе корма (с учетом основной и побочной продукции) берется из столбцов 11 и 12 таблицы 25.
В ограничениях 20-22 и 24-25 – из столбца 11 таблицы 25. Например, ограничение по удовлетворению потребности в комбикорме запишется
1,10X21-12,23X27>=0 i=20
Ограничение по удовлетворению потребности в концентрированных кормах собственного производства будет записано как
0,97X1+45,44X2+0,78X3+35,31X4+0,39X5-8,78X27>=0 i=21.
В ограничении по соломе (23) информация о выходе соломы с 1 га посева зерновых и зернобобовых культур берется из столбца 9 таблицы 25
9,52X3+9,52X4+3,84X5-0,37X27>=0 i=23.
С помощью ограничений 26-31 происходит моделирование так называемого «зеленого конвейера», позволяющего обеспечить равномерное поступление зеленых кормов. По условиям задачи хозяйство не располагает пастбищами, поэтому выход зеленых кормов планируется только с посевных площадей соответствующих сельскохозяйственных культур.
Схема зеленого конвейера приведена в таблице 26. Например ограничение по удовлетворению потребности в зеленых кормах в июле запишется следующим образом
26,10X15+21,10X18-0,32X27>=0 i=29.
Вспомогательным является ограничение по определению стоимости производственных затрат в целом по предприятию:
,
где 
- материально-денежные затраты в расчете на 1 га посева j -ой сельскохозяйственной культуры;
- цена приобретения j -ого вида корма или j -ой кормовой добавки;
материально-денежные затраты без учет стоимости кормов в расчете на 1 структурную голову j -ого вида сельскохозяйственных животных.
Это ограничение может быть записано следующим образом
10,10X1+10,10X2+8,50X3+8,50X4+…+0,72X21+…+23,40X27 ‑ X28=0 i=37.
Значения переменных должны быть неотрицательными
, 
, 
, 
Поскольку в качестве критерия оптимальности в данной задаче выбрана максимизация сумма чистого дохода (разница между стоимостью товарной продукции и общей суммой производственных затрат по предприятию), то целевая функция примет вид:
,
где - площадь посева j -ой сельскохозяйственной культуры или поголовье j -го вида скота;
- выход товарной продукции в стоимостном выражении в расчете на 1 га посева j -ой сельскохозяйственной культуры или 1 структурную голову j -го вида скота.
Целевая функция может быть записана следующим образом:
Zmax=16,68X1+12,31X3+17,64X5+19,26X6+49,50X7+20,48X8+53,27X27 ‑X28.
В матричном виде экономико-математическая модель по оптимизации отраслевой структуры производства представлена в таблице 28.
Реализация разработанной экономико-математической модели производства осуществляется с помощью надстройки Поиск решения пункта меню Сервис Microsoft Excel.
Порядок работы с данной надстройкой описан в разделе 3.1.1. настоящего учебного пособия.
Таблица 16. Экономико-математическая модель по оптимизации отраслевой структуры производства (часть 1)
| № | Ограничения | Единица измерения | Переменные | ||||||||||
| Озимая пшеница | Ячмень | Соя | Горчица | Сахарная свекла | Подсолнечник | Кукуруза | |||||||
| товарная | фуражная | товарный | фуражный | на силос | на зеленый корм | ||||||||
| 1 срока сева | 2 срока сева | ||||||||||||
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 | x11 | |||
| Значения по решению = > | 1248,3 | 0,0 | 399,7 | 47,5 | 801,4 | 198,6 | 649,3 | 625,0 | 195,3 | 2,1 | 1,0 | ||
| Пашня | га | ||||||||||||
| Поголовье КРС | стр.гол. | ||||||||||||
| Площадь зерновых и зернобобовых min | га | ||||||||||||
| Площадь зерновых и зернобобовых max | га | ||||||||||||
| Площадь озимых min | га | ||||||||||||
| Площадь озимых max | га | ||||||||||||
| Площадь горчицы и сои | га | ||||||||||||
| Площадь сахарной свеклы | га | ||||||||||||
| Площадь подсолнечника | га | ||||||||||||
| Площадь пара min | га | ||||||||||||
| Площадь пара max | га | ||||||||||||
| Обеспеченность озимых предшественниками | га | -1 | -1 | ||||||||||
| Объем реализации по договорам: | |||||||||||||
| пшеница | ц | 34,74 | |||||||||||
| ячмень | ц | 30,02 | |||||||||||
| сахарная свекла | ц | ||||||||||||
| молоко | ц | ||||||||||||
| Требуется корма всего | ц.к.ед. | 0,97 | 45,44 | 10,30 | 44,83 | 4,23 | 45,00 | 60,90 | 60,90 | ||||
| Требуется переваримого протеина | кг | 0,08 | 3,76 | 0,43 | 2,98 | 0,22 | 3,15 | 4,06 | 4,06 | ||||
| Концентраты всего: | ц.к.ед. | 0,97 | 45,44 | 0,78 | 35,31 | 0,39 | |||||||
| в т.ч. комбикорм | ц.к.ед. | ||||||||||||
| прочие концентраты | ц.к.ед. | 0,97 | 45,44 | 0,78 | 35,31 | 0,39 | |||||||
| Сено | ц.к.ед. | ||||||||||||
| Солома | ц.к.ед. | 9,52 | 9,52 | 3,84 | |||||||||
| Сенаж | ц.к.ед. | ||||||||||||
| Силос | ц.к.ед. | 45,00 | |||||||||||
| Зеленый корм во 2-ой половине мая | ц.к.ед. | ||||||||||||
| в 1-й половине июня | ц.к.ед. | ||||||||||||
| во 2-й половине июня | ц.к.ед. | ||||||||||||
| в июле | ц.к.ед. | ||||||||||||
| в августе | ц.к.ед. | 60,90 | |||||||||||
| в сентябре | ц.к.ед. | 60,90 | |||||||||||
| Патока | ц.к.ед. | ||||||||||||
| Премикс | ц.к.ед. | ||||||||||||
| Молоко | ц.к.ед. | ||||||||||||
| Обрат | ц.к.ед. | ||||||||||||
| ЗЦМ | ц.к.ед. | ||||||||||||
| Производственные затраты | тыс.руб. | 10,10 | 10,10 | 8,50 | 8,50 | 8,90 | 7,90 | 44,90 | 7,20 | 10,80 | 10,20 | 10,20 | |
| Zmax | 16,68 | 12,31 | 17,64 | 19,26 | 49,50 | 20,48 |
Продолжение таблицы 16 (часть 2).
| № | Переменные | Сумма произведений | Тип ограничений | Объем ограничений | ||||||||||||||||
| Однолетние травы | Многолетние травы | Озимые на зеленый корм | Пар | Комбикорм | Патока | Премикс | Молоко на корм | Обрат | ЗЦМ | Поголовье крупного рогатого скота | Производственные затраты | |||||||||
| на сено | на сенаж | на зеленый корм | на сено | на сенаж | на зеленый корм | |||||||||||||||
| 1 срока сева | 2 срока сева | |||||||||||||||||||
| x12 | x13 | x14 | x15 | x16 | x17 | x18 | x19 | x20 | x21 | x22 | x23 | x24 | x25 | x26 | x27 | x28 | bi | |||
| 0,0 | 0,0 | 2,4 | 3,3 | 183,4 | 387,5 | 2,0 | 3,0 | 250,0 | 4449,0 | 1830,4 | 180,4 | 125,2 | 365,9 | 28,0 | 400,0 | 78358,8 | ||||
| 5 000,0 | = | 5 000 | ||||||||||||||||||
| 400,0 | = | |||||||||||||||||||
| 2 500,0 | >= | 2 500 | ||||||||||||||||||
| 2 500,0 | <= | 3 000 | ||||||||||||||||||
| 1 251,3 | >= | 1 000 | ||||||||||||||||||
| 1 251,3 | <= | 1 500 | ||||||||||||||||||
| 1 000,0 | <= | 1 000 | ||||||||||||||||||
| 649,3 | <= | |||||||||||||||||||
| 625,0 | <= | |||||||||||||||||||
| 250,0 | >= | |||||||||||||||||||
| 250,0 | <= | |||||||||||||||||||
| -1 | -1 | -1 | -1 | -0,33 | -0,33 | -0,33 | -1 | 0,0 | <= | |||||||||||
| 43 366,0 | >= | 23 000 | ||||||||||||||||||
| 12 000,0 | >= | 12 000 | ||||||||||||||||||
| 292 188,4 | >= | 195 000 | ||||||||||||||||||
| 51,10 | 20 314,8 | >= | 20 000 | |||||||||||||||||
| 13,05 | 15,36 | 26,10 | 26,10 | 24,00 | 26,86 | 52,80 | 21,00 | 1,10 | 0,76 | 0,50 | 0,34 | 0,13 | 2,40 | -85,77 | 7 186,2 | >= | ||||
| 1,94 | 1,58 | 3,48 | 3,48 | 3,94 | 3,32 | 7,44 | 2,63 | 11,00 | 6,00 | 5,50 | 0,05 | 0,04 | 42,60 | -6,08 | 62 963,1 | >= | ||||
| 1,10 | -21,02 | 0,0 | >= | |||||||||||||||||
| 1,10 | -12,23 | 0,0 | >= | |||||||||||||||||
| -8,78 | 0,0 | >= | ||||||||||||||||||
| 13,05 | 24,00 | -11,01 | 0,0 | >= | ||||||||||||||||
| -0,37 | 7 186,2 | >= | ||||||||||||||||||
| 15,36 | 26,86 | -26,02 | 0,0 | >= | ||||||||||||||||
| -21,98 | 0,0 | >= | ||||||||||||||||||
| 21,00 | -0,16 | 0,0 | >= | |||||||||||||||||
| 31,70 | -0,16 | 0,0 | >= | |||||||||||||||||
| 26,10 | -0,16 | 0,0 | >= | |||||||||||||||||
| 26,10 | 21,10 | -0,32 | 0,0 | >= | ||||||||||||||||
| -0,32 | 0,0 | >= | ||||||||||||||||||
| -0,16 | 0,0 | >= | ||||||||||||||||||
| 0,76 | -3,48 | 0,0 | = | |||||||||||||||||
| 0,50 | -0,23 | 0,0 | = | |||||||||||||||||
| 0,34 | -0,11 | 0,0 | = | |||||||||||||||||
| 0,13 | -0,12 | 0,0 | = | |||||||||||||||||
| 2,40 | -0,17 | 0,0 | = | |||||||||||||||||
| 5,60 | 5,40 | 5,20 | 5,20 | 6,70 | 6,50 | 6,20 | 4,62 | 2,70 | 0,72 | 0,15 | 0,55 | 0,10 | 0,00 | 23,40 | -1 | 0,0 | = | |||
| Zmax | 53,277 | -1 | 31 588,5 | max |
Анализ результатов решения задачи.
Результаты реализации экономико-математической модели по оптимизации отраслевой структуры производства приведены в таблице 17.
Таблица 17. Результаты решения задачи по оптимизации отраслевой
структуры производства
| Номер переменной | Наименование переменной | Значение по решению |
| x1 | Озимая пшеница товарная | 1 248,3 |
| x2 | Озимая пшеница фуражная | 0,0 |
| x3 | Ячмень товарный | 399,7 |
| x4 | Ячмень фуражный | 47,5 |
| x5 | Соя | 801,4 |
| x6 | Горчица | 198,6 |
| x7 | Сахарная свекла | 649,3 |
| x8 | Подсолнечник | 625,0 |
| x9 | Кукуруза на силос | 195,3 |
| x10 | Кукуруза на зеленый корм 1-го срока сева | 2,1 |
| x11 | Кукуруза на зеленый корм 2-го срока сева | 1,0 |
| x12 | Однолетние травы на сено | 0,0 |
| x13 | Однолетние травы на сенаж | 0,0 |
| x14 | Однолетние травы на зеленый корм 1 срока сева | 2,4 |
| x15 | Однолетние травы на зеленый корм 2 срока сева | 3,3 |
| x16 | Многолетние травы на сено | 183,4 |
| x17 | Многолетние травы на сенаж | 387,5 |
| x18 | Многолетние травы на зеленый корм | 2,0 |
| x19 | Озимые на зеленый корм | 3,0 |
| x20 | Пар | 250,0 |
| x21 | Комбикорм | 4 449,0 |
| x22 | Патока | 1 830,4 |
| x23 | Премикс | 180,4 |
| x24 | Молоко на корм | 125,2 |
| x25 | Обрат | 365,9 |
| x26 | ЗЦМ | 28,0 |
| x27 | Поголовье крупного рогатого скота | 400,0 |
| x28 | Сумма производственных затрат | 78 358,8 |
В результате решения задачи были определены площади посева сельскохозяйственных культур, объемы приобретаемых кормов и кормовых добавок, поголовье крупного рогатого скота (в структурных головах) и сумм производственных затрат по предприятию.
Все ограничения выполнены. Анализируя результаты, представленные в столбце «Сумма произведений» можно сделать следующие выводы.
Имеющаяся в хозяйстве пашня используется полностью.
Площадь посева зерновых и зернобобовых (ограничения 3 и 4) берется по минимальной границе и составляет 2 500 га. Площадь озимых культур (ограничения 3 и 4) формируется на уровне 1251,4 га (при нижней и верхней границе соответственно 1 000 и 1 500 га). Максимально возможных значений достигает площадь подсолнечника и суммарная площадь посевов сои и гречихи (соответственно 625 и 1 000 га). Площадь свеклы составляет 649,3 га при максимально возможной – 750 га. Площадь пара берется по минимально допустимой границе в 250 га.
Все озимые культуры размещены по хорошим предшественникам. Излишки площадей по таким культурам отсутствуют.
Таблица 18. Выполнение договорных обязательств по реализации продукции, ц
| Продукция | Объемы реализации по плану | Объемы реализации по решению | Объемы реализации сверх плана |
| Пшеница | 23 000,0 | 43 366,0 | 20 366,0 |
| Ячмень | 12 000,0 | 12 000,0 | 0,0 |
| Сахарная свекла | 95 000,0 | 292 188,4 | 97 188,4 |
| Молоко | 20 000,0 | 20 314,8 | 314,8 |
Если реализация пшеницы и сахарной свеклы сверх плана объясняется выгодностью данных видов продукции, то перевыполнение плана по молоку связано с тем, что поголовье крупного рогатого скота было зафиксировано на фактическом уровне.
Анализ обеспеченности отрасли животноводства кормами показывает, что по оптимальному решению излишек кормов составит 7 162,2 ц к.ед. Этот излишек образуется за счет соломы, которая является побочной продукцией при производстве зерновых и зернобобовых культур. Наблюдается избыток в рационе переваримого протеина (около 63 т), что свидетельствует о необходимости корректировки рационов кормления.
Сумма чистого дохода по оптимальному решению составляет 31 588,5 тыс. руб.