МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению контрольной работы
по дисциплине «Математика» и
«Линейная алгебра»
Ставрополь 2012
Методические указания к выполнению контрольной работы составлены в соответствие с требованиями государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и программой дисциплины «Математика» и «Линейная алгебра» для студентов первого курса. Они содержат задания контрольной работы, а также вопросы к дифференцированному зачету.
Составители: Обласова И.Н.
Формулировка задания и его объем
В контрольной работе №1 предлагается решить 11 задач по вариантам, включающим соответствующие задания. Каждое задание (их одиннадцать) включает десять задач. Студент должен решить одну задачу из задания в соответствии со своим вариантом.
В задания включены задачи по разделам: алгебра и геометрия.
Студент должен выполнять решение задач по варианту, номер которого совпадает с двумя последними цифрами номера зачетной книжки.
В таблице приведены номера задач, предлагаемые студентам для выполнения контрольной работы № 1. Вариант контрольной работы определяется по таблице в зависимости от двух последних цифр шифра (номера зачетной книжки) студента. В колонке таблицы по вертикали расположены цифры от 0 до 9, каждая из которых является предпоследней цифрой шифра. В верхней строке по горизонтали размещены также цифры от 0 до 9, каждая из которых является последней цифрой шифра. Пересечение вертикальной (А) и горизонтальной (В) линий определяет номера заданий контрольной работы.
| А\В | Последняя цифра шифра | ||||||||||
| Предпоследняя цифра шифра | 6, 16, 24, 35, 46, 51, 66, 76, 84, 95, 106 | 4, 17, 23, 39, 50, 56, 64, 77, 83, 99, 110 | 3, 14, 29, 36, 45, 57, 63, 74, 89, 96, 105 | 9, 13, 28, 31, 41, 54, 69, 73, 88, 91, 101 | 1, 20, 30, 33, 43, 55, 61, 80, 90, 93, 103 | 10, 12, 22, 32, 49, 53, 70, 72, 82, 92, 109 | 2, 18, 21, 38, 42, 60, 62, 78, 81, 98, 102 | 8, 19, 27, 34, 48, 52, 68, 79, 87, 94, 108 | 7, 15, 26, 37, 47, 58, 67, 75, 86, 97, 107 | 5, 11, 25, 40, 44, 59, 65, 71, 85, 100, 104 | |
| 4, 20, 27, 33, 43, 54, 64, 80, 87, 93, 103 | 1, 12, 21, 37, 45, 56, 61, 72, 81, 97, 105 | 9, 19, 25, 31, 41, 55, 69, 79, 85, 91, 101 | 7, 17, 23, 34, 47, 59, 67, 77, 83, 94, 107 | 5, 16, 22, 40, 50, 58, 65, 76, 82, 100, 110 | 8, 14, 30, 38, 46, 57, 68, 74, 90, 98, 106 | 6, 18, 24, 35, 48, 60, 66, 78, 84, 95, 108 | 10, 13, 26, 32, 44, 52, 70, 73, 86, 92, 104 | 3, 15, 29, 39, 49, 51, 63, 75, 89, 99, 109 | 2, 11, 28, 36, 42, 53, 62, 71, 88, 96, 102 | ||
| 5, 16, 26, 38, 45, 60, 65, 76, 86, 98, 105 | 2, 19, 29, 32, 43, 57, 62, 79, 89, 92, 103 | 9, 12, 22, 39, 44, 56, 69, 72, 82, 99, 104 | 4, 17, 27, 34, 47, 54, 64, 77, 87, 94, 107 | 1, 20, 30, 31, 49, 51, 61, 80, 90, 91, 109 | 6, 15, 25, 37, 46, 52, 66, 75, 85, 97, 106 | 7, 14, 24, 36, 42, 53, 67, 74, 84, 96, 102 | 8, 13, 23, 35, 48, 55, 68, 73, 83, 95, 108 | 3, 18, 28, 33, 41, 58, 63, 78, 88, 93, 101 | 10, 11, 21, 40, 50, 59, 70, 71, 81, 100, 110 | ||
| 5, 16, 26, 31, 45, 54, 65, 76, 86, 91, 105 | 4, 15, 25, 32, 50, 56, 64, 75, 85, 92, 110 | 7, 20, 28, 36, 46, 55, 67, 80, 88, 96, 106 | 3, 14, 24, 33, 41, 60, 63, 74, 84, 93, 101 | 9, 19, 30, 39, 43, 57, 69, 79, 90, 99, 103 | 6, 17, 27, 35, 48, 53, 66, 77, 87, 95, 108 | 2, 11, 22, 38, 47, 52, 62, 71, 82, 98, 107 | 10, 18, 29, 40, 44, 58, 70, 78, 89, 100, 104 | 1, 12, 23, 34, 42, 59, 61, 72, 83, 94, 102 | 8, 13, 21, 37, 49, 51, 68, 73, 81, 97, 109 | ||
| 6, 14, 27, 34, 47, 51, 66, 74, 87, 94, 107 | 5, 20, 25, 33, 50, 59, 62, 73, 88, 97, 106 | 2, 13, 28, 37, 46, 54, 65, 80, 85, 93, 110 | 10, 17, 24, 32, 41, 58, 70, 77, 84, 92, 101 | 1, 15, 29, 38, 45, 53, 61, 75, 89, 98, 105 | 4, 12, 23, 35, 42, 55, 64, 72, 83, 95, 102 | 3, 16, 26, 40, 44, 52, 63, 76, 86, 100, 104 | 8, 18, 22, 36, 48, 57, 68, 78, 82, 96, 108 | 9, 11, 30, 39, 43, 56, 69, 71, 90, 99, 103 | 7, 19, 21, 31, 49, 60, 67, 79, 81, 91, 109 | ||
| 10, 12, 21, 37, 48, 53, 70, 72, 81, 97, 108 | 9, 18, 22, 38, 41, 54, 69, 78, 82, 98, 101 | 8, 19, 23, 36, 46, 55, 68, 79, 83, 96, 106 | 7, 17, 25, 35, 45, 56, 67, 77, 85, 95, 105 | 1, 11, 30, 39, 44, 57, 61, 71, 90, 99, 104 | 5, 15, 26, 33, 49, 60, 65, 75, 86, 93, 109 | 4, 14, 27, 32, 43, 58, 64, 74, 87, 92, 103 | 3, 13, 28, 31, 50, 59, 63, 73, 88, 91, 110 | 2, 20, 29, 40, 47, 52, 62, 80, 89, 100, 107 | 6, 16, 24, 34, 42, 51, 66, 76, 84, 94, 102 | ||
| 9, 20, 21, 35, 48, 51, 69, 80, 81, 95, 108 | 4, 18, 24, 37, 47, 52, 64, 78, 84, 97, 107 | 5, 17, 27, 33, 50, 59, 65, 77, 87, 93, 110 | 6, 14, 22, 39, 44, 55, 66, 74, 82, 99, 104 | 8, 16, 25, 31, 43, 56, 68, 76, 85, 91, 103 | 10, 19, 29, 38, 42, 57, 70, 79, 89, 98, 102 | 7, 11, 23, 36, 46, 53, 67, 71, 83, 96, 106 | 3, 15, 26, 32, 41, 58, 63, 75, 86, 92, 101 | 1, 13, 30, 34, 45, 54, 61, 73, 90, 94, 105 | 2, 12, 28, 40, 49, 60, 62, 72, 88, 100, 109 | ||
| 10, 15, 27, 32, 46, 58, 70, 75, 87, 92, 106 | 6, 17, 26, 39, 41, 56, 66, 77, 86, 99, 101 | 7, 20, 22, 36, 47, 59, 67, 80, 82, 96, 107 | 1, 11, 29, 35, 45, 57, 61, 71, 89, 95, 105 | 9, 19, 23, 34, 48, 60, 69, 79, 83, 94, 108 | 8, 18, 24, 33, 50, 55, 68, 78, 84, 93, 110 | 2, 12, 30, 38, 42, 54, 62, 72, 90, 98, 102 | 3, 13, 28, 40, 44, 53, 63, 73, 88, 100, 104 | 5, 16, 25, 31, 43, 52, 65, 76, 85, 91, 103 | 4, 14, 21, 37, 49, 51, 64, 74, 81, 97, 109 | ||
| 8, 17, 21, 36, 46, 54, 68, 77, 81, 96, 106 | 10, 11, 23, 37, 48, 55, 70, 71, 83, 97, 108 | 6, 20, 24, 33, 43, 51, 66, 80, 84, 93, 103 | 9, 16, 22, 38, 47, 60, 69, 76, 82, 98, 107 | 5, 19, 25, 39, 50, 53, 65, 79, 85, 99, 110 | 7, 18, 27, 40, 49, 52, 67, 78, 87, 100, 109 | 1, 12, 30, 35, 45, 56, 61, 72, 90, 95, 105 | 3, 15, 28, 31, 41, 57, 63, 75, 88, 91, 101 | 4, 14, 26, 32, 44, 58, 64, 74, 86, 92, 104 | 2, 13, 29, 34, 42, 59, 62, 73, 89, 94, 102 | ||
| 8, 19, 28, 38, 44, 54, 68, 79, 88, 98, 104 | 4, 16, 21, 34, 42, 52, 64, 76, 81, 94, 102 | 10, 11, 29, 36, 47, 57, 70, 71, 89, 96, 107 | 3, 13, 27, 31, 50, 60, 63, 73, 87, 91, 110 | 7, 12, 23, 35, 46, 56, 67, 72, 83, 95, 106 | 5, 14, 22, 37, 45, 55, 65, 74, 82, 97, 105 | 6, 20, 26, 40, 49, 59, 66, 80, 86, 100, 109 | 1, 15, 30, 32, 43, 53, 61, 75, 90, 92, 103 | 2, 17, 25, 33, 48, 58, 62, 77, 85, 93, 108 | 9, 18, 24, 39, 41, 51, 69, 78, 84, 99, 101 |
Задания.
1. Даны векторы 
в некотором базисе. Показать, что векторы 
образуют базис и найти координаты вектора 
в этом базисе.
1. 
(1,2,3); 
(-1,3,2); 
(7,-3,5); (6,10,17).
2. (4,7,8); (9,1,3); (2,-4,1); (1,-13,-13).
3. (8,2,3); (4,6,10); (3,-2,1); (7,4,11).
4. (10,3,1); (1,4,2); (3,9,2); (19,30,7).
5. (2,4,1); (1,3,6); (5,3,1); (24,20,6).
6. (1,7,3); (3,4,2); (4,8,5); (7,32,14).
7. (1,-2,3); (4,7,2); (6,4,2); (14,18,6).
8. (1,4,3); (6,8,5); (3,1,4); (21,18,33).
9. (2,7,3); (3,1,8); (2,-7,4); (16,14,27).
10. (7,2,1); (4,3,5); (3,4,-2); (2,-5,-13).
2. Даны координаты вершин пирамиды 
. Найти: 1) длину ребра 
; 2) угол между ребрами и 
; 3) угол между ребром и гранью 
; 4) площадь грани ; 5) объем пирамиды ; 6) уравнения прямой ; 7) уравнение плоскости ; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины 
на грань . Сделать чертеж.
11. 
(4,2,5); 
(0,7,2); 
(0,2,7); (1,5,0).
12. (4,4,10); (4,10,2); (2,8,4); (9,6,4).
13. (4,6,5); (6,9,4); (2,10,10); (7,5,9).
14. (3,5,4); (8,7,4); (5,10,4); (4,7,8).
15. (10,6,6); (-2,8,2); (6,8,9); (7,10,3).
16. (1,8,2); (5,2,6); (5,7,4); (4,10,9).
17. (6,6,5); (4,9,5); (4,6,11); (6,9,3).
18. (7,2,2); (5,7,7); (5,3,1); (2,3,7).
19. (8,6,4); (10,5,5); (5,6,8); (8,10,7).
20. (7,7,3); (6,5,8); (3,5,8); (8,4,1).
3. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по формулам Крамера.
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
4. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей 
.
31. 
.
32. 
.
33. 
.
34. 
.
35. 
.
36. 
.
37. 
.
38. 
.
39. 
.
40. 
.
5. Линия задана уравнением 
в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от 
до 
и придавая 
значения через промежуток 
; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
41. 
42. 
43. 
44. 
45. 
46. 
47. 
48. 
49. 
50. 
6. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка.
51. 
52. 
53. 
54. 
55. 
56. 
57. 
58. 
59. 
60. 
7. Дано комплексное число 
. Требуется: 1) записать число в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения 
.
61. 
.
62. 
,
63. 
,
64. 
,
65. 
,
66. 
,
67. 
,
68. 
,
69. 
,
-
.
8. Дана система линейных уравнений. Решить ее методом Гаусса.
9. Вычислить определитель: 1) путем разложения его по элементам ряда; 2) получив предварительно нули в первом столбце.
№10. Задачи 91-95. Финансово-промышленная группа продаёт два вида пакетов акций, состоящих из акций трёх акционерных обществ: "Альфа", "Бета", "Гамма". Один пакет 1-го вида состоит из а1 акций АО "Альфа", а2 акций АО "Бета", а3 акций "Гамма". Один пакет второго вида состоит из b1 акций АО "Альфа", b2 акций АО "Бета", b3 акций "Гамма".
Финансово-промышленная группа располагает следующим запасом акций: d1 акций АО "Альфа", d2 акций АО "Бета", d3 акций "Гамма". Прибыль от продажи одного пакета первого вида составляет α тыс. руб., одного пакета второго вида – β тыс. руб. Найти план продажи пакетов акций, обеспечивающий наибольшую прибыль. Задачу решить симплексным и геометрическим методами.
| а1=10, а2=10, а3=30, | b1=10, b2=30, b3=10, | d1=800, d2=1800, d3=1800, | α=5, β=4. | |
| а1=15, а2=10, а3=20, | b1=15, b2=20, b3=10, | d1=750, d2=800, d3=800, | α=2, β=3. | |
| а1=8, а2=5, а3=10, | b1=8, b2=10, b3=5, | d1=800, d2=950, d3=950, | α=3, β=4. | |
| а1=5, а2=5, а3=10, | b1=5, b2=10, b3=5, | d1=250, d2=400, d3=400, | α=3, β=4. | |
| а1=16, а2=16, а3=8, | b1=16, b2=8, b3=16, | d1=480, d2=400, d3=400, | α=4, β=5. |
Задачи 96-100. На производство двух видов продукции А и В используется три типа ресурсов. На производство единицы продукции А используется а1 ед. первого ресурса, а2 ед. – второго ресурса, а3 ед. третьего ресурса. На производство единицы продукции В используется b1 ед. первого ресурса, b2 ед. второго ресурса, b3 ед. – третьего ресурса. Запасы первого, второго, третьего типов ресурсов d1, d2, d3. Прибыль от реализации единицы продукции А и В соответственно равна α и β усл. ед. Составить план производства продукции А и В, обеспечивающий наибольшую прибыль.
Задачу решить симплексным и геометрическим методами.
96. а1=16, b1=4, d1=784, α=4,
а2=8, b2=7, d2=552,
а3=5, b3=9, d3=567, β=6.
97. а1=12, b1=3, d1=684, α=6,
а2=10, b2=5, d2=690,
а3=3, b3=6, d3=558, β=2.
98. а1=8, b1=3, d1=861, α=2,
а2=7, b2=6, d2=864,
а3=4, b3=9, d3=945, β=3.
99. а1=9, b1=5, d1=1431, α=3,
а2=7, b2=8, d2=1224,
а3=4, b3=16, d3=1328, β=2.
100. а1=6, b1=3, d1=714, α=3,
а2=5, b2=10, d2=910,
а3=3, b3=12, d3=948, β=9.
№11. Имеются три пункта поставки однородного груза А 1, А 2, А 3 и пять пунктов В 1, В 2, В 3, В 4, В 5 потребления этого груза. На пунктах А 1, А 2, А 3 находится груз соответственно в количестве а 1, а 2, а 3 тонн. В пункты В 1, В 2, В 3, В 4, В 5 требуется доставить соответственно b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 тонн груза. Затраты на перевозку 1 тонны груза между пунктами поставки и пунктами потребления приведены в матрице Д (в рублях), где dij - есть стоимость в рублях перевозки 1 тонны груза от поставщика с номером i (i = 1, 2, 3) к потребителю с номером j (j = 1, 2, 3, 4, 5).
Составить план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза, чтобы общие затраты на перевозки были минимальными.
101.
| а 1 = 200, b 1 = 100, а 2 = 175, b 2 = 130, а 3 = 225, b 3 = 80, b 4 = 190, b 5 = 100 | 
|
102.
| а 1 = 200, b 1 = 100, а 2 = 450, b 2 = 125, а 3 = 250, b 3 = 325, b 4 = 250, b 5 = 100 | 
|
103.
| а 1 = 250, b 1 = 120, а 2 = 200, b 2 = 130, а 3 = 200, b 3 = 100, b 4 = 160, b 5 = 140 | 
|
104.
| а 1 = 350, b 1 = 210, а 2 = 330, b 2 = 170, а 3 = 270, b 3 = 220, b 4 = 150, b 5 = 200 | 
|
105.
| а 1 = 300, b 1 = 210, а 2 = 250, b 2 = 150, а 3 = 200, b 3 = 120, b 4 = 135, b 5 = 135 | 
|
106.
| а 1 = 350, b 1 = 170, а 2 = 200, b 2 = 140, а 3 = 300, b 3 = 200, b 4 = 195, b 5 = 145 | 
|
107.
| а 1 = 200, b 1 = 190, а 2 = 250, b 2 = 100, а 3 = 200, b 3 = 120, b 4 = 110, b 5 = 130 | 
|
108.
| а 1 = 230, b 1 = 140, а 2 = 250, b 2 = 90, а 3 = 170, b 3 = 160, b 4 = 110, b 5 = 150 | 
|
109.
| а 1 = 200, b 1 = 210, а 2 = 300, b 2 = 150, а 3 = 250, b 3 = 120, b 4 = 135, b 5 = 135 | 
|
110.
| а 1 = 200, b 1 = 270, а 2 = 350, b 2 = 130, а 3 = 300, b 3 = 190, b 4 = 150, b 5 = 110 | 
|
Требования к оформлению контрольной работы
При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клеточку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.
В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, здесь же следует указать название учебного заведения и группы, номер зачетной книжки, номер контрольной работы, название дисциплины. В конце работы поставить дату ее выполнения, расписаться.
В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании строго по положенному варианту. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать его условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные, взятыми из соответствующего номера. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
Контрольные работы, содержащие не все задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.
После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все его рекомендации.
Если контрольная работа зачтена и выполнены исправления с учетом замечаний рецензента, то студенту назначается время защиты контрольной работы во время экзаменационной сессии. Без предъявления отрецензированных контрольных работ студент не допускается к зачету.
Вопросы к зачету.
1. Определители второго и третьего порядка, их свойства, вычисление разложением по элементам строки (столбца), по правилу треугольника.
2. Матрицы, основные определения, действия над матрицами.
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, по правилу Крамера, с помощью обратной матрицы.
4. Комплексные числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы записи, действия над ними.
5. Векторы, основные определения, понятия, действия над ними.
6. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме.
7. Коллинеарность и компланарность векторов.
8. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, определения, свойства, геометрический смысл векторного и скалярного произведений.
9. Уравнения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом; через две точки; в отрезках, общее уравнение.
10. Уравнение плоскости в векторной и координатной формах.
11. Уравнение плоскости и прямой в пространстве.
12. Расстояние от точки до плоскости.
13. Условие параллельности и перпендикулярности векторов.
14. Канонические уравнения кривых второго порядка: формулы, определения, чертеж.
15. Квадратичные формы.
16. Линейный оператор, его матрица.
17. Собственные значения, собственные векторы матрицы.
18. Присоединенные векторы матрицы.
19. Постановка задач линейного программирования.
20. Графическое решение задач линейного программирования.