Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики

Тема: «Ряды динамики»

1. Понятие и классификация рядов динамики

2. Показатели изменений уровня ряда динамики.

3. Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики

4. Экстраполяция в рядах динамики и прогнозирование

Методы анализа основной тенденции развития в рядах динамики

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления.

В некоторых случаях закономерность изменения явления, общая тенденция его развития явно и отчетливо отражается уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются).

Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают), и общая тенденция развития неясна.

На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определенную тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер.

Поэтому при анализе динамики речь идет не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной (устойчивой) на протяжении изученного этапа развития.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобожденную от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания.

Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов). Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д. Средняя, исчисленная по укрупненным интервалам, позволяет выявлять направление и характер (ускорение или замедление роста) основной тенденции развития.

Выявление основной тенденции может осуществляться также методом скользящей (подвижной) средней. Сущность его заключается в том, что исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3, 5, 7 и т.д.), первых по счету уровней ряда, затем — из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее — начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы "скользит" по ряду динамики, передвигаясь на один срок.

Сглаженный ряд по трехлетиям короче фактического на один член ряда в начале и в конце, по пятилетиям — на два члена в начале и конце ряда. Он меньше, чем фактический подвержен колебаниям из-за случайных причин.

Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» сглаженного ряда по сравнению с фактическим, а, следовательно, потеря информации.

Расчет скользящей средней по данным об урожайности зерновых культур.

Год	Фактический уровень урожайности	Скользящая средняя
трехлетняя	пятилетняя
	15,4	-	-
	14,0		-
	17,6
	15,4		15,1
	10,9	14,6	15,2
	17,5	14,5	17,1
	15,0	17,0	16,8
	18,5	15,9	17,6
	14,2	15,9	-
	14,9		-

Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервалов и метод скользящей средней) дают возможность определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.

Для того чтобы дать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание ряда динамики.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

у_t=f(t)

где у _t — уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчетных) уровней у_t производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики.

Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики (линейной диаграмме).

Например, простейшими моделями (формулами), выражающими тенденцию развития, являются:

линейная функция — прямая у_t = а₀ + а₁t, где a_0, а₁ параметры уравнения; t время;

парабола - у_t = а₀ + а₁t+ а₂t²

гипербола - у_t = а₀ + а₁

В тех случаях, когда требуется особо точное изучение тенденции развития (например, модели тренда для прогнозирования), при выборе вида адекватной функции можно использовать специальные критерии математической статистики.

Выравнивание по прямой используется, как правило, в тех случаях, когда абсолютные приросты практически постоянны, т.е. когда уровни изменяются в арифметической прогрессии (или близко к ней).

Выравнивание по показательной функции используется в тех случаях, когда ряд отражает развитие в геометрической прогрессии, т.е. когда цепные коэффициенты роста практически постоянны.

Рассмотрим «технику» выравнивания ряда динамики по прямой. Параметрысогласно методу наименьших квадратов, находятся решением следующей системы нормальных уравнений, полученной путем алгебраического преобразования условия.

где у - фактические (эмпирические) уровни ряда; t - время (порядковый номер периода или момента времени).

Расчет параметров значительно упрощается, если за начало отсчета времени (t=0) принять центральный интервал (момент).

При четном числе уровней (например, 6), значения t - условного обозначения времени будут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

2001 г. 2002 г. 2003 г. 2004 г. 2005 г. 2006 г.

-3 -2 -1 +1 +2 +3

При нечетном числе уровней (например, 7) значения устанавливаются по-другому:

2001 г. 2002 г. 2003 г. 2004 г. 2005 г. 2006 г. 2007г.

-3 -2 -1 0 +1 +2 +3

В обоих случаях = 0, так что система нормальных уравнений принимает вид:

Откуда:

и

Проиллюстрируем на примере урожайности зерновых культур (см. табл. 1, выравнивание ряда динамики по прямой.

Для выравнивания данного ряда используем линейную трендовую модель — уравнение прямой.

Таблицы 1. Выравнивание по прямой ряда динамики урожайности зерновых культур

Уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель искомой функции, будет иметь вид:

Подставляя в данное уравнение последовательно значения t, находим выровненные уровни у_t.

Если расчеты выполнены правильно, то сумма эмпирических и теоретических показателей будут равны.