линейного преобразования
Определение. Пусть – заданное n - мерное векторное пространство. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:
.
При этом число называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .
Определение. Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…, имеет матрицу , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни уравнения:
/
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом линейного преобразования А.
Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.
Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:
; .
в некотором базисе .
Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то .
или
Так как собственный вектор ненулевой, то и не равны нулю одновременно. Так как данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.
Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.
Таким образом, можно найти собственный вектор линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а и – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.
Очевидно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.
Если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.
Действительно, .Учитывая, что векторы имеют одно и то же начало, получаем, что эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.
Так как характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня и , то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений (В силу линейной зависимости уравнений). Это множество решений определяет две собственные прямые.
Если характеристическое уравнение имеет два равных корня , то либо существует только одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям и . В этом случае все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .
Запишем линейное преобразование в виде:
Составим характеристическое уравнение:
l 2 - 8 l + 7 = 0;
Корни характеристического уравнения: Для корня имеем
Из системы получаем зависимость: . Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: где t - параметр.
Для корня имеем
Из системы получаем зависимость: . Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: где t - параметр. Полученные собственные векторы можно записать в виде:
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей .
Запишем линейное преобразование в виде:
Составим характеристическое уравнение:
;
Корни характеристического уравнения: . Получаем:
Из системы получается зависимость: . Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: где t - параметр. Собственный вектор можно записать: .
Пусть - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а – компоненты этого вектора в некотором базисе , тогда
,
где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А. Если матрица линейного преобразования А имеет вид:
,
то
Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид .
Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня. Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.
Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования .
Составим характеристическое уравнение:
Имеем
Собственные значения:
1) Для
Если положить , то Þ .
Собственные векторы:
2) Для
Если положить то Þ .
Собственные векторы:
3) Для
Если положить то Þ .
Собственные векторы:
Квадратичные формы
1.Квадратичные формы. Определитель квадратичной формы.