Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел

Совершенные числа.

Соверше́нное число́ (др.-греч. ἀριθμὸς τέλειος) — натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого́ числа). Совершенное число — это число, дружественное самому себе.

Первое совершенное число — 6 (1 + 2 + 3 = 6), следующее — 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число — 496, четвёртое — 8128, пятое — 33 550 336, шестое — 8 589 869 056.

Совершенные числа	Математика
	Некоторые числа являются особенными по сравнению с другими. Как считали Пифагор (569 – 475 года до нашей эры) и Эвклид (325 - 265 года до нашей эры), эти числа настолько специфичны, что они называли их не иначе как мистическими или совершенными. Наименьшее из таких чисел – число 6; второе – 28. Греки уже знали еще два таких числа: 496 и 8'128. Наблюдается закономерность? Перед тем как продолжите читать, попробуйте понять что такого уникального в этих числах. Итак, определение совершенного числа гласит: совершенным является любое число, которое может быть представлено как сумма его делителей (чисел, на которые делится рассматриваемое число без остатка). Таким образом: 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; и так далее. Просто правда? А как насчет пятого по счету совершенного числа? Можете его вычислить? Даже не пытайтесь... просто продолжайте читать. Вычисление пятого совершенного числа заняло у математиков около 1500 лет – это число 33'550'336. Наиболее ощутимый вклад в будущие открытия совершенных чисел внесли французские математики Ферма и Мерсен, в начале 17 века, когда они предложили формулу для вычисления совершенных чисел. С тех пор, благодаря вычислениям многих математиков, мы знаем 39 совершенных чисел. Как нетрудно догадаться, открытия новых совершенных чисел участились с появлением возможности применения компьютеров. Самое большое на сегодняшний день совершенное число(февраль 2008) – 44-ое. Например, 39-ое совершенное число открыто в 2001 году и имеет 4 миллиона знаков. Оказалось, что все открытые совершенные числа четные. Откроем ли мы когда-нибудь нечетное совершенное число? Или же мы откроем математический закон, который будет являться обоснованием того, что все совершенные числа четные? Поживем - увидим!

По страницам истории.

Евклид обнаружил, а Эйлер позднее строго доказал, что каждое чётное совершенное число можно представить в виде 2 ^{p - 1}(2 ^p - 1), где p такое, что 2 ^p - 1 является простым числом. Числа вида 2 ^p - 1 называются числами Мерсенна, каждому простому числу Мерсенна соответствует чётное совершенное число, и наоборот. В двоичном виде любое чётное совершенное число можно представить как 111…1000...0, где число единиц и нулей равно соответственно p и p − 1.

Вопрос о существовании нечётного совершенного числа открыт до сих пор. Известно, что если такое число существует, то оно должно быть больше 10³⁰⁰ и иметь как минимум 75 простых делителей (с учетом кратности), как минимум 9 из которых должны быть различны.

Неизвестно также, бесконечно ли количество всех совершенных чисел.

Совершенные числа были предметом пристального внимания пифагорейцев, хотя в их время были известны только 2 первых совершенных числа. В частности, Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, любое чётное совершенное число равно сумме последовательных натуральных чисел, начиная с единицы (т. е. является треугольным числом):

Кроме того, одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 1,2,4,8,16 и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2 ⁿ, где n — число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа, т. е. все степени двойки слегка недостаточны:

Двумя столетиями спустя Евклид уточнил замеченную Пифагором взаимосвязь между двоичностью и совершенством. Евклид открыл, что каждое чётное совершенное число имеет вид 2 ^{p - 1}(2 ^p - 1), где 2 ^p - 1 является простым числом.(Число 2ⁿ-1 может быть простым лишь в том случае, если прост показатель степени n. Обратное утверждение неверно: если показатель степени n прост, то число 2ⁿ-1 не обязательно должно быть простым..

Благодаря этой формуле Евклид сумел найти третье и четвёртое совершенные числа. Пятое совершенное число по формуле Евклида удалось найти только в XVI веке.

Доказано, что все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел. Кроме того, известно, что сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его самого), равна 2. Все чётные совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96. Как уже было отмечено выше, все чётные совершенные числа являются треугольными числами; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть могут быть представлены в виде n(2n−1).

Примечательные факты

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней. В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».

Лев Николаевич Толстой отмечал, что год его рождения - 1828 соответствует четвёртому совершенному числу, если нём поменять местами первые две цифры.

Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел

Автор: Евгений Скляревский
Опубликовано в журнале "Компьютерра" №30 от 15 августа 2001 года

Перестаньте отыскивать интересные числа! Оставьте для интереса хотя бы одно неинтересное число!
Из письма читателя Мартину Гарднеру

Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа.

Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число). Наименьшее из совершенных чисел 6 равно сумме трех своих делителей 1, 2 и 3. Следующее совершенное число 28=1+2+4+7+14. Ранние комментаторы Ветхого завета, пишет в своей книге «Математические новеллы» Мартин Гарднер, усматривали в совершенстве чисел 6 и 28 особый смысл. Разве не за 6 дней был сотворен мир, восклицали они, и разве Луна обновляется не за 28 суток?

Первым крупным достижением теории совершенных чисел была теорема Евклида о том, что число 2^n-1(2ⁿ-1) - четное и совершенное, если число 2ⁿ-1 - простое ¹. Лишь две тысячи лет спустя Эйлер доказал, что формула Евклида содержит все четные совершенные числа. Поскольку не известно ни одного нечетного совершенного числа (у читателей есть шанс найти его и прославить свое имя), то обычно, говоря о совершенных числах, имеют в виду четное совершенное число.

Приглядевшись к формуле Евклида, мы увидим связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, … Эту связь лучше проследить на примере древней легенды, согласно которой Раджа обещал изобретателю шахмат любую награду. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую клетку - два зерна, на третью - четыре, на четвертую - восемь и так далее. На последнюю, 64-ю клетку, должно быть насыпано 2⁶³ зерен, а всего на шахматной доске окажется «кучка» из 2⁶⁴-1 зерен пшеницы. Это больше, чем собрано во всех урожаях за историю человечества.

Если на каждой клетке шахматной доски мы напишем, сколько зерен пшеницы причиталось бы за нее изобретателю шахмат, а затем снимем с каждой клетки по одному зерну, то число оставшихся зерен будет точно соответствовать выражению, стоящему в скобках в формуле Евклида. Если это число простое, то, умножив его на число зерен на предыдущей клетке (то есть на 2^n-1), мы получим совершенное число! Простые числа вида 2ⁿ-1 называются числами Мерсенна в честь французского математика XVII века. На шахматной доске со снятыми по одному зерну с каждой клетки есть девять чисел Мерсенна, соответствующих девяти простым числам, меньших 64, а именно: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 и 61. Умножив их на число зерен на предыдущих клетках, мы получим девять первых совершенных чисел. (Числа n=29, 37, 41, 43, 47, 53, и 59 не дают числа Мерсенна, т.е. соответствующие им числа 2ⁿ-1 составные.)

Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Например, все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Из той же формулы Евклида следует другое любопытное свойство совершенных чисел: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 1³+3³+5³+… Еще более удивительно, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, взяв делители совершенного числа 28, получим:

Кроме того, интересны представление совершенных чисел в двоичной форме, чередование последних цифр совершенных чисел и другие любопытные вопросы, которые можно найти в литературе по занимательной математике. Главные из них - наличие нечетного совершенного числа и существование наибольшего совершенного числа - до сих пор не решены.

От совершенных чисел повествование непременно перетекает к дружественным числам. Это такие два числа, каждое из которых равно сумме делителей второго дружественного числа. Наименьшие из дружественных чисел 220 и 284 были известны еще пифагорейцам, которые считали их символом дружбы. Следующая пара дружественных чисел 17296 и 18416 была открыта французским юристом и математиком Пьером Ферма лишь в 1636 году, а последующие числа находили Декарт, Эйлер и Лежандр. Шестнадцатилетний итальянец Никколо Паганини (тезка знаменитого скрипача) в 1867 году потряс математический мир сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.

Определенный интерес для любителей представляет программа поиска совершенных чисел. Ее схема проста: в цикле для каждого числа проверять сумму его делителей и сравнивать ее с самим числом, - если они равны, то это число совершенное.

VAR I,N,Summa: LONGINT;
Delitel: INTEGER;
begin
FOR I:=3 TO 34000000 DO BEGIN
Summa:=1;
FOR Delitel:=2 TO SQRT(I) DO BEGIN
N:=(I DIV Delitel);
IF N*Delitel=I THEN Summa:=Summa + Delitel + (I DIV Delitel);
END;
IF INT(SQRT(I))=SQRT(I) THEN Summa:=Summa-INT(SQRT(I));
IF I=Summa THEN WRITELN(I,’ - ‘,Summa);
END;
END.

Обратите внимание, что количество проверяемых делителей каждого числа растет до квадратного корня из числа. Подумайте о том, почему это так. И о том, что истинная красота - это нечто, в хозяйстве совершенно бесполезное, но бесконечно дорогое для настоящих ценителей.