Двоичная система счисления – это позиционная система счисления с основанием q =2 и символами отображения чисел, состоящими из двух цифр: 0 и 1.
В соответствии с формулой (1) запись числа 10111,101(2) соответствует следующему числу в десятичной системе счисления:
10111,101(2)=1*24+0*23+1*22+1*21+1*20+1*2-1+0*2-2+1*2-3=23,625(10)
Восьмеричная система счисления
Это позиционная система счисления с основанием q =8 и символами отображения чисел, состоящими из восьми цифр: 0,1,2.3,4,5,6,7. Число восемь десятичной системы счисления записывается в виде 10(8), так как является единицей следующего разряда. Числу 478,53(10) будет соответствовать число 736,41(8), так как
736,41(8) =7*82+3*81+6*80+4*8-1+1*8-2=478,53(10)
Шестнадцатеричная система счисления
Это позиционная система счисления с основанием q =16 и символами отображения чисел, состоящими из десяти цифр: 0,1,2.3,4,5,6,7,8,9 и шести букв: А – соответствует числу 10(10), B – числу 11(10), C – числу 12(10), D – числу 13(10), E – числу 14(10), F – числу 15(10). Число 16 в десятичной системе счисления записывается в виде 10(16), а число, например 1DE,87(16)=1*162+13*161+14*160+8*16-1+7*16-2=478,53(10)
Правило перевода из десятичной системы счисления в недесятичную
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода из десятичной системы счисления в недесятичную.
Правило перевода целой части числа
Целую часть десятичного числа необходимо последовательно делить на основание q системы счисления, в которой переводят, до тех пор пока частное не будет меньше делителя. Полученный результат записывается как последовательность последнего частного и остатков от деления в обратном порядке.
Правило перевода дробной части числа
Дробную часть десятичного числа необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части, получаемых произведений, на основание q системы счисления, в которой переводят. Процесс перевода заканчивается, если дробная часть получилась равной нулю или если вычислено заданное количество цифр после запятой. Полученная дробь записывается в виде последовательности целых частей произведений, начиная с первого.
Пример 2. Перевести 165, (10) в двоичную систему счисления.
Решение:
165∟2
16 82∟2
5 8 41∟2
4 2 40 20∟2
1 2 1 20 10∟2
00 10 5∟2
0 4 2∟2
1 2 1
1
0,25
* 2
0, 50
* 2
1,00 Ответ: 165,25(10)=11100101,01(2)
Правила арифметических операций в различных
Системах счисления
Арифметические операции над недесятичными системами счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.
Приведем несколько примеров сложения и вычитания двоичных и шестнадцатеричных чисел:
Пример 3.
а) 78(10) = 4 Е ( 
) = 100 1110 ( 
)
+ + +
47 ( 
) = 2 F ( ) = 10 1111 ( 
)
–––––– –––––– ––––––––––
125 ( ) = 7 D ( )= 111 1101 ( )
б) 1450 ( )= 5 АА ( ) = 101 1010 1010 ( )
– – –
427 ( )= 1 АВ ( ) = 1 1010 1011 ( )
–––––– –––––– –––––––––––––
1023 ( )= 3 FF ( ) = 11 1111 1111 ( )
В десятичной системе при изображении чисел, больших девяти, различные символы (т. е. цифры 0, 1, …, 9) располагаются друг за другом, например 365. Комбинации этих символов могут быть получены сложением 1 и 0 с последующим добавлением 1 к каждой получаемой сумме: 1 + 0 = 1, 1+ 1 = 2, 1 + 2 = 3 и т. д. Поскольку при операции сложения 1 + 9 сумму невозможно изобразить одним символом, поэтому слева от цифры девять, к которой прибавляется 1, ставится 1, а саму цифру девять заменяют цифрой 0, иначе говоря, осуществляют перенос в старший разряд. После этого можно продолжать операцию добавления 1 к сумме. Описанный процесс, называемый счетом, позволяет получить все комбинации цифр, используемых для изображения чисел в десятичной системе.
• Заметим, что при счете в десятичной системе особое внимание следует обращать на выполнение переноса и замену наибольшей цифры наименьшей.
Рассмотрим теперь, как происходит счет в двоичной системе счисления. Напомним, что в этой системе для изображения чисел используются только два символа: 0 и 1. Начнем счет также, как и в десятичной системе, складывая 1 и 0. Естественно, что 1 + 0 = 1. Добавим к полученной сумме 1. Поскольку сумму в двоичной системе невозможно представить одной цифрой, как и раньше, выполним перенос: припишем слева к первой сумме 1, а ее значение заменим на 0.
• Заметим, что операция переноса выполняется также, как при счете в десятичной системе с той лишь разницей, что в двоичной системе используются только два символа (две двоичные цифры).
В шестнадцатеричной системе счисления используются 16 символов: цифры от 0 до 9 и буквы от А до F. Поэтому шестнадцатеричное число может иметь вид 03 FA. Чтобы определить шестнадцатеричные числа, можно вновь повторить процесс счета подобному тому, как это делалось в случае десятичной и двоичной систем. Сложение и умножение чисел в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления иллюстрируют таблицы 1-6, где по вертикале в первом столбце и по горизонтали в первой строке записаны цифры, на пересечении столбцов и строк результат сложения или умножения.
Таблица 1
Сложение чисел в двоичной системе счисления
| + | ||
Таблица 2
Умножение чисел в двоичной системе счисления
| × | ||
Пример 4.
а) 1010111,1011 100100111,01011
+ 11001111,10101- 11001111,10101
100100111,01011 1010111,1011
b) 1001,11
* 1011,1
+ 100111
100111
1101111,001
Таблица 3
Сложение чисел в восьмеричной системе счисления
| + | ||||||||
Таблица 4
Умножение чисел в восьмеричной системе счисления
| + | |||||||
Таблица 5
Сложение чисел в шестнадцатеричной системе счисления
| + | A | B | C | D | E | F | ||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | A | B | C | D | E | F | ||||||||||
| B | B | C | D | E | F | 1A | ||||||||||
| C | C | D | E | F | 1A | 1B | ||||||||||
| D | D | E | F | 1A | 1B | 1C | ||||||||||
| E | E | F | 1A | 1B | 1C | 1D | ||||||||||
| F | F | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E |
Пример 5.
EF567,AB 767FB6,017
+ 678A4E,567- 678A4E,567
767FB6,017 EF567,AB
Таблица 6
Умножение чисел в шестнадцатеричной системе счисления
| + | A | B | C | D | E | F | |||||||||
| A | B | C | D | E | F | ||||||||||
| A | C | E | 1A | 1E | 1C | ||||||||||
| C | F | 1B | 1E | 2A | 2D | ||||||||||
| C | 1C | 2C | 3C | ||||||||||||
| A | F | 1E | 2D | 3C | 4B | ||||||||||
| C | 1E | 2A | 3C | 4E | 5A | ||||||||||
| E | 1C | 2A | 3F | 4D | 5B | ||||||||||
| 1B | 2D | 3F | 5A | 6C | 7E | ||||||||||
| A | A | 1E | 3C | 5A | 6E | 8C | |||||||||
| B | B | 2C | 4D | 6E | 8F | 9A | A5 | ||||||||
| C | C | 3C | 6C | 9C | A8 | B4 | |||||||||
| D | D | 1A | 4E | 5B | 8F | 9C | A9 | B6 | C3 | ||||||
| E | E | 1C | 2A | 7E | 8C | 9A | A8 | B6 | C4 | D2 | |||||
| F | F | 1E | 2D | 3C | 4B | 5A | A5 | B4 | C3 | D2 | E1 |