К этим звеньям относятся все устройства, для которых в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной (рис. 3.1).
а) б)
Рис. 3.1. Типовые примеры пропорциональных звеньев
Эти звенья называют также статическими. Уравнение звена имеет вид:
хвых = k · хвх, (3.7)
где k – коэффициент усиления звена. Его величина имеет только действительное значение как положительное, так и отрицательное.
Реакция звена на входной сигнал в виде функции 1(t) называется переходной функцией. Переходная функция пропорционального звена представлена на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Переходная функция пропорционального звена
Апериодическое звено
Апериодическим называется звено, в котором при единичном воздействии на входе выходная величина апериодически (по закону экспоненты) стремится к новому установившемуся значению. Примерами апериодических звеньев являются RC – цепочка и мембранный исполнительный механизм (рис. 3.3).
а) б)
Рис. 3.3. Типовые примеры апериодических звеньев
Уравнение звена для RC – цепочки имеет вид:
T · dUвых / dt + Uвых = k · Uвх , (3.8)
где Т = RC – постоянная величина;
k = Uвых/Uвх – коэффициент усиления апериодического звена, определяемый в установившемся режиме.
Параметр Т характеризует скорость протекания апериодического экспоненциального переходного процесса или степень инерционности данной цепи.
Переходная функция этого ТЗ определяется как решение неоднородного дифференциального уравнения и имеет вид:
h(t) = Uвых(t) = k · (xвх)0 · [1 – е - t/T] (см. рис. 3.4). (3.9)
Рис. 3.4. Переходная функция апериодического звена
Обычно переходной процесс считается законченным, если Uвых достигает ~ 95 % своего установившегося значения, то есть Uвых = 0,95 · k · (Uвх)0. Это соответствует времени tпп = 3Т.
Колебательное звено
Это звено, в котором при единичном воздействии на входе, выходная величина стремится к новому установившемуся значению, совершая относительно него затухающие колебания. Примерами колебательных звеньев являются RLC – цепочка и гидромеханическое демпфирующее устройство (рис. 3.5).
а) б)
Рис. 3.5. Типовые примеры колебательных звеньев
Уравнение звена для RLC – цепочки имеет вид:
T2 · d2Uвых / dt2 + 2Tζ · dUвых / dt + Uвых = k · Uвх, (3.10)
где Т = √LC – постоянная времени, характеризующая собственную частоту колебаний системы;
ζ = R / 2 · √L/C – коэффициент демпфирования (затухания);
k – коэффициент усиления (передачи) звена.
Вид переходной функции определяется корнями характеристического уравнения T2r2 + 2ζTr + 1 = 0:
r1,2 = – ζ ± √ζ2 – 1 / Т: (3.11)
а) при 0 < ζ < 1 – корни комплексные сопряженные:
r1,2 = – α ± jωe,
где α = ζ/Т – коэффициент затухания колебаний в ТЗ;
ωe = √1 – ζ2 /Т – собственная частота колебаний в ТЗ;
j = √–1.
Для этих условий переходная функция имеет вид:
Uвых(t) = k · (Uвх)0 · [1–В·е–αt sin(ωet + φ)], (3.12)
где В = √1 + α2 / ωe2 и φ = arctg ωe / α.
Вид переходной функции представлен на рис. 3.6, а;
в) при ζ ≥ 1 переходящая функция не имеет колебаний и похожа на переходную функцию апериодического ТЗ (рис. 3.6, б). Поэтому при ζ ≥ 1 колебательное звено называют апериодическим звеном второго порядка;
с) при ζ = 0 (отсутствие демпфирования) колебательное ТЗ называется консервативным, так переходной процесс сопровождается незатухающими колебаниями (рис. 3.6, в).
а) б) в)
Рис. 3.6. Виды переходных функций колебательного звена
Дифференцирующее звено
Это звено, в котором выходная величина пропорциональна производной по времени от входной. Такое ТЗ может быть идеальным и реальным.
Идеальное дифференцирующее ТЗ описывается уравнением:
хвых = k · dxвх / dt. (3.13)
Примером такого звена является тахогенератор, у которого напряжение на выходе пропорционально частоте вращения или производной от угла поворота якоря.
Примером реального дифференцирующего звена является CR – цепочка и устройство называемое катаракт, который устанавливается в цепи местной обратной связи изодромного регулятора и служащий для улучшения качества переходного процесса в САР (рис. 3.7).
а) б)
Рис. 3.7. Типовые примеры реальных дифференцирующих звеньев
Уравнение звена для CR – цепочки имеет вид:
Т · dUвых / dt + Uвых = T · dUвх / dt, (3.14)
где Т = RC – постоянная времени реального дифференцирующего звена.
Переходная функция такого звена определяется из решения дифференциального уравнения и имеет вид (рис. 3.8):
Uвых(t) = k · (Uвх)0 · e–t/T. (3.15)
Рис. 3.8. Переходная функция реального дифференцирующего звена
Из зависимости для переходной функции реального дифференцирующего звена следует, что постоянная времени Т представляет собой время, в течение которого выходной параметр принимает величину, равную 36,8 % от первоначального значения (t = 0). Чем больше постоянная Т, тем медленнее протекает переходный процесс, при этом величина коэффициента передачи не влияет на продолжительность процесса.
Интегрирующее звено
Это звено, в котором выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной, то есть скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине. Состояние этого звена описывается зависимостью:
dxвых / dt = k · xвх , (3.16)
где k – коэффициент передачи звена.
Переходная функция этого звена определяется в результате интегрирования уравнения при хвх = х0[1(t)] и имеет следующий вид:
хвых(t) = k · t · x0, при t ≥ 0. (3.17)
Вид переходной функции интегрирующего звена представлен на рис. 3.9.
Рис. 3.9. Переходная функция интегрирующего звена
Очевидно, что переходная функция представляет собой нарастающую наклонную прямую, темп роста которой определяется коэффициентом передачи k. Переходная характеристика интегрирующего ТЗ не стремится к какому-либо значению, а неуклонно нарастает. Примеры интегрирующих звеньев представлены на рис. 3.10.
а) б)
Рис. 3.10. Типовые примеры интегрирующих звеньев