Программа экзамена по алгебре
Специальность – «Компьютерная безопасность»
Второй семестр, 2011-2012 учебный год
Раздел 1. Векторные пространства. Аксиомы векторного пространства. Примеры векторных пространств. Линейная зависимость векторов. Лемма о замене и следствия из нее. Базис векторного пространства, теорема о свойствах базиса конечномерного пространства. Размерность векторного пространства, пример бесконечномерного векторного пространства. Координаты вектора, действия над векторами в координатах. Матрица перехода от базиса к произвольной системе векторов, матрица перехода от базиса к другому базису, ее свойства. Изменение координат вектора при замене базиса. Векторные подпространства, линейная оболочка и другие примеры. Теорема о дополнении базиса подпространства до базиса пространства. Действия над векторными подпространствами: пересечение и сумма. Теорема о размерности суммы подпространств. Прямая сумма подпространств, примеры (для конечномерных пространств, а также разложение C[-1,1] в прямую сумму подпространств чётных и нечётных функций), критерии прямой суммы.
Раздел 2. Линейные операторы. Определение и примеры линейных отображений (операторов). Задание линейного оператора образами базисных векторов. Ядро и образ линейного оператора: определения и свойства. Теорема о связи размерностей ядра и образа линейного оператора. Типы линейных отображений: линейные функционалы, эпи-, моно- и изоморфизмы, критерий мономорфизма, изоморфность векторных пространств данной конечной размерности над данным полем. Действия над линейными операторами: сумма, умножение на скаляр, композиция. Кольцо эндоморфизмоввекторного пространства. Матрица оператора в данном базисе. Матрицы суммы, произведения линейных операторов и пропорционального оператора. Изменение матрицы оператора при замене базиса. Подобные матрицы. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Характеристический многочлен линейного оператора: теорема о его вычислении. Характеристические корни линейного оператора и их связь с собственными значениями этого оператора. Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных чисел линейного оператора, заданного матрицей в данном базисе. Свойства собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному числу, а также различным собственным числам. Линейные операторы с простым спектром и приведение их матрицы к диагональному виду.
Раздел 3. Квадратичные формы. Понятие квадратичной формы, матрица ее коэффициентов, ранг квадратичной формы, матричная запись квадратичной формы. Эквивалентность квадратичных форм над данным полем, связь между матрицами эквивалентных квадратичных форм. Инвариантность ранга в классе эквивалентности квадратичных форм. Канонический вид квадратичной формы. Основная теорема о квадратичных формах (метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду). Комплексные квадратичные формы: нормальный канонический вид, критерий эквивалентности двух форм. Вещественные квадратичные формы: закон инерции для вещественных квадратичных форм, нормальный канонический вид, положительный и отрицательный индексы инерции, сигнатура. Критерий эквивалентности. Положительно определенные квадратичные формы: эквивалентные определения. Критерий Сильвестра положительной определенности. Отрицательно определенные квадратичные формы и критерий Сильвестра отрицательной определенности.
Раздел 4. Теория l-матриц. Эквивалентность l-матриц. Канонический вид l-матрицы. Теорема о приведении l-матрицы к каноническому виду, однозначная определенность канонического вида: инвариантные множители l-матрицы и их выражение через dk(l) (унитарный НОД миноров k-го порядка). Группа унимодулярных l-матриц, их свойства, критерий унимодулярности. Элементарные унимодулярные матрицы, критерий эквивалентности двух l-матриц. Матричные многочлены, их представление в виде l-матриц и обратное представление. Процедура правого и левого деления с остатком для матричных многочленов. Критерий подобия двух (скалярных) матриц.
Раздел 5. Жорданова форма матрицы. Жорданова клетка, жорданова матрица, канонический вид её характеристической матрицы. Таблица элементарных делителей жордановой матрицы и произвольной матрицы. Критерий подобия двух жордановых матриц. Основная теорема линейной алгебры. Критерий диагонализируемости матрицы. Жорданов базис: его существование, свойства и алгоритм нахождения. Матричные корни многочленов. Минимальный многочлен матрицы, его существование и единственность. Теорема о совпадении минимального многочлена матрицы с последним инвариантным множителем её характеристической матрицы. Теорема Гамильтона - Кэли.
Раздел 6. Евклидовы пространства. Скалярное произведение и его свойства. Примеры евклидовых пространств. Превращение конечномерного вещественного пространства в евклидово пространство. Длина вектора, свойства длины вектора, неравенство Коши-Буняковского-Шварца, нормирование вектора. Ортогональные системы векторов и их свойства. Ортонормированный базис и его существование: процесс ортогонализации по Шмидту. Линейная замена, сохраняющая сумму квадратов, и ортогональные матрицы: эквивалентные определения. Свойства ортогональных матриц. Замена ортонормированных базисов евклидова пространства. Ортогональные преобразования евклидова пространства и их свойства. Сопряжённый оператор: обоснование конструкции. Свойства сопряжения операторов. Матрица сопряжённого оператора в ортонормированном базисе. Симметрические операторы евклидова пространства и их свойства: матрица симметрического преобразования в ортонормированном базисе, характеристические корни симметрического преобразования. Ортогональное дополнение векторного подпространства евклидова пространства и его свойства. Критерий самосопряжённости оператора (диагонализируемость симметрического преобразования). Приведение вещественной квадратичной формы к главным осям. Классификация кривых и поверхностей второго порядка.
Программу составил доц. С. Ю. Попов 22 мая 2012 года