Перевод десятичных чисел в шестнадцатиричную систему счисления

Лабораторная работа №1

Тема: Система счисления. Перевод целых десятичных чисел в двоичную, восьмеричную, шестнадцатиричную систему счисления. (1 час), СРСП(1 час).

Десятичная система счисления

Название «десятичная» объясняется тем, что в основе этой системы лежит основание десять. В этой системе для записи чисел используются десять цифр - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная система является позиционной, так как значение цифры в записи десятичного числа зависит от ее позиции, или местоположения, в числе.

Позицию, отводимую для цифры числа, называют разрядом.

Например, запись 526 означает, что число состоит из 5 сотен, 2 десятков и 6 единиц, Цифра 6 стоит в разряде единиц. Цифра 2 - в разряде десятков цифра 5-в разряде сотен.

Это число записать в виде суммы:

526=5*10²+2*10¹+6*10⁰

в этой записи число 10-основание системы счисления. Для каждой цифры числа основание 10 возводится в степень, зависящую от позиции цифры, и умножается на эту цифру. Степень основания для единиц равна нулю, для десятков - единице, для сотен – двум и т.д.

Для записи десятичных дробей используются отрицатель­ные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:

555,55₁₀ = 5*10² + 5*10¹+ 5*10°+ 5*10-¹+5*10-².:

Перевод целых десятичных чисел в двоичную систему счисления.

При переводе десятичного числа в двоичное нужно это число делить на 2. Чтобы перевести целое положительное десятичное число в двоичную систему счисления, нужно это число разделить на 2. Полученное частное снова разделить на 2 и т.д. до тех пор, пока частное не окажется меньше 2. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Пример. Число 891 перевести из десятичной системы в двоичную систему счисления.

Решение:

891:2=445, 1

445:2=222, 1

222:2=111, 0

111:2=55, 1

55:2=27, 1

27:2=13, 1

13:2=6, 1

6:2=3, 0

3:2=1, 1

1:2=0, 1 (старшая цифра двоичного числа)

 

Записываем в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.

Ответ: 891₁₀=1101111011₂

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления заключается в поиске целых частей при умножении на 2.

Пример. Переведем десятичную дробь 0,322 в двоичную систему счисления.

Чтобы найти первую после запятой цифру двоичной дроби, нужно умножить заданное число на 2 и выделить целую часть произведения.

Решение:

0,322₁₀ 8,83₁₀

0.322*2=0.644 0 8:2=4 остаток 0

0.644*2=1.288 1 4:2=2 остаток 0

0.288*2=0.576 0 2:2=1 остаток 0

0.576*2=1.152 1 1:2=0 остаток 1

Ответ:

0,3222₁₀=0.0101₂ 0.83*2=1.66 целая часть равна 1

0.66*2=1.32 целая часть равна 1

0.32*2=0.64 целая часть равна 0

0.64*2=1.28 целая часть равна 1

Ответ: 8,83=1000,1101

Перевод десятичных чисел в восьмеричную систему счисления

Для перевода числа из десятичной системы в восьмеричную применяется тот же прием, что и при переводе в двоичную систему.

Преобразуемое число делят на 8 по правилам десятичной системы с запоминанием остатка, который, конечно, не превышает 7. Если полученное частное больше 7, его тоже делят на 8, сохраняя остаток.

Решение:

891:8=111 3

111:8=13 7

13:8= 1 5

1: 8=0 1

(старшая цифра двоичного числа).

Ответ: 891₁₀=1573₈

Перевод десятичных чисел в шестнадцатиричную систему счисления

Аналогично преобразуют десятичное число в шестнадцатеричное с той лишь разницей, что это число вместо 8 делят на 16.

Пример: Число 891 перевести из десятичной системы в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение: остаток

891:16=55 11

55:16=3 7

3:16=0 3

891₁₀=37B₁₆

Самостоятельная работа студента с преподователям:

1. Задание: Представьте виде суммы степеней основания числа:

1. 425₁₀ 8. 3678,898₁₀

2. 256₁₀ 9. 7,29083₁₀

3. 852₁₀ 10. 0,0032₁₀

4. 1243₁₀ 11. 2,3589₁₀

5. 2569₁₀ 12. 48,965₁₀

6. 4568₁₀ 13. 56,897₁₀

7. 12568₁₀ 14. 48,975₁₀

2. Задание:Переводите десятичные числа в двоичную систему счисления:

323₁₀ 8. 125₁₀

150₁₀ 9. 229₁₀

283₁₀ 10. 88₁₀

428₁₀ 11. 255₁₀

315₁₀ 12. 325₁₀

181₁₀ 13. 259₁₀

176₁₀ 14. 652₁₀

3. Задание:Переводите дробные десятичные числа в двоичную систему счисления:

0,322₁₀ 8. 37,25₁₀

150,7006₁₀ 9. 206,125₁₀

283,245₁₀ 10. 0,386₁₀

0,428₁₀ 11. 10,103₁₀

315,075₁₀ 12. 8,83₁₀

181,369₁₀ 13. 14,125₁₀

176,526₁₀ 14. 15,75₁₀

4. Задание:Переводите десятичные числа в восьмеричную систему счисления:

1. 322₁₀ 8. 7006₁₀

2. 524₁₀ 9. 125₁₀

3. 283,245₁₀ 10. 229₁₀

4. 428₁₀ 11. 88₁₀

5. 315,075₁₀ 12. 37,25₁₀

6. 181,369₁₀ 13. 206,125₁₀

7. 176,526₁₀ 14. 940₁₀

5. Задание:Переводите десятичные числа в шестнадцатиричную систему счисления:

1. 322₁₀ 8. 369₁₀

2. 150,7006₁₀ 9. 125₁₀

3. 283,245₁₀ 10. 229₁₀

4. 428₁₀ 11. 88₁₀

5. 315,075₁₀ 12. 37,25₁₀

6. 181₁₀ 13. 206,125₁₀

7. 176,526₁₀ 14. 98,93₁₀

Контрольные вопросы:

1. Что называют системой счисления?

2. В чем отличие позиционных систем счисления от непозиционных?

3. Что называют основанием позиционной системы счисления?

4. Что такое разряд?

 

 

Лабораторная работа №2

Тема занятия: Двоичная система счисления. Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную, шестнадцатиричную систему счисления. Арифметические действия над двоичными числами. (1 час), СРС (2час).

В компьютерах применяется, как правило, не десятичная, а позиционная двоичная система счисления, т.е. система счисления с основанием 2. В двоичной системе любое число записывается с помощью двух цифр 0 и 1 и называется двоичным числом.

Для того чтобы отличить двоичное число от десятичного, содержащего только цифры 0 и1, к записи двоичного числа в индексе добавляется признак двоичной системы счисления, например 110101,111₂. Каждый разряд (цифру) двоичного числа называют битом.

Как и десятичное число, любое двоичное число можно записать в виде суммы, явно отражающей различие весов цифр, входящих в двоичное число 2. Например, для двоичного числа 1010101,101 сумма примет вид

1010101,101₂ =1*2⁶+0*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3

Эта сумма записывается по тем же правилам, что и сумма для десятичного числа. В данном примере двоичное числа имеет семизначную целую и трехзначную дробную части. Поэтому старшая цифра целой части, т.е. единица, умножается на 2^7-1=2⁶, следующая цифра целой части, равная нулю, умножается на 2⁵ и т.д. по убывающим степеням двойки до младшей, третьей, цифры дробной части, которая будет умножена на 2^-3. Выполняя в этой сумме арифметические операции по правилам десятичной системы, получим десятичное число 85,625. Таким образом, двоичное число 1010101,101 совпадает с десятичным числом 85,625 или 1010101,101=85,625₁₀

1. 11100011₂=1×2⁷+1×2⁶+1×2⁵+0×2⁴+0×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰= 128+64+32+2+1=227₁₀

2. 0,10100011₂=1×2^-1+0×2^-2+1×2^-3+0×2^-4+0×2^-5+0×2^-6+1×2^-7+1×2^-8=0,5+0,125+0,0078+0,0039 =0,6367₁₀