Системы счисления.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
При работе с вычислительной техникой очень важно не путать термины «цифра» и «число». Цифра – это арабский знак 0, 1, … 9; из этих цифр составляется произвольное число – целое или с дробной частью.
Системой счисления называется совокупность приемов наименования и записи чисел с помощью цифр.
Хорошо знакомая вам десятичная система счисления располагает только десятью цифрами – 0, 1, 2, …, 9, - однако это не мешает нам представить с их помощью любое мыслимое число, которое можно изобразить на бумаге. Дело в том, что десятичная система является позиционной, а это означает, что значение каждой цифры числа, представленного в такой системе, определяется ее местом (позицией) в числе.
Например.
459 – число сто одиннадцать в десятичной системе счисления. Первая цифра 4 показывает количество сотен, вторая – количество десятков, третья – количество единиц.
Позиционная система счисления определяется ее основанием, иначе – числом цифр, которым располагает данная система. Каждое число в позиционной системе – это сумма произведений цифр числа на основание, возведенное в целую степень, причем смещение на одну позицию влево увеличивает показатель степени на единицу (начиная с нуля).
За основание системы счисления можно взять любое положительное число больше единицы. В современных ЭВМ в настоящее время в основном используются позиционные системы счисления с основаниями 2, 8, 16 и 10.
10 с.с. – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
8 с.с. - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 0.
2 с.с. - 0, 1.
16 с.с. - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Основанием десятичной системы является десяток, поэтому число 459 можно представить суммой:
459 = 4*102 + 5*101 + 9*100.
Двоичная система счисления тоже является позиционной, но по основанию 2.
Например, число 110 в 2 с.с. можно прочитать справа налево так: нуль единиц, одна двойка (21) и одна четверка (22). Просуммировав эти степени, получим, что 110 в двоичной системе – это число 6 в десятичной с.с.
1011 = 1 + 2 + 0 + 8 = 11;
1111 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15.
Цифра двоичной с.с. хранится в элементарной ячейке памяти, называемой битом.
Существуют формальные правила перевода чисел из одной с.с. в другую.
Двоичная система счисления.
Таблица сложения двух однозначных чисел:
0 + 0 = 0 1 + 0 = 1
0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 – (1 переносится в старший
разряд)
Таблица вычитания двоичных чисел:
0 – 0 = 0 1 – 0 = 1
1 – 1 = 0 1 – 1 = 1
заем из старшего разряда
Умножение:
0 х 0 = 0 1 х 0 = 0 1 х 1 = 1
Примеры.
....
|
|
|
1011111 1111011 1111011
11010001 11100010 1100111
При вычитании: если в соседнем разряде 0, то мы занимаем единицу через несколько разрядов (в ближайшем). Единица, занятая в ближайшем значащем разряде, дает нам две единички в самом младшем разряде и единичку в остальных разрядах.. 1 1 1 11
|
1
Восьмеричная система счисления.
|
Шестнадцатеричная система счисления.
16 с.с. имеет основание 16. Каждый разряд может принимать значения от 0 до 15. Для изображения чисел используются цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита.
Для того чтобы перевести целое число из одной системы счисления в другую с.с., необходимо последовательно делить это число на основание той с.с., в которую переводится данное число. Полученные остатки, начиная с последнего, и будут цифрами, изображающими это число в новой с.с.
Таблица для быстрого перевода чисел из одной с.с. в другую.
| 10 с.с. | 2 с.с. | 16 с.с. | 8 с.с. |
| A | |||
| B | |||
| C | |||
| D | |||
| E | |||
| F | |||
Примеры.
а) 19010 = 101111102 (190 / 2 = …);
б) 4710 = 2F16 (47 делим на 16, проверка: 2*161 + 15*160 = 47);
в) перевести двоичное число 1110101 в 8 с.с.
8 = 23, поэтому разбиваем двоичное число на тройки цифр (начиная с конца), если при этом самая левая тройка окажется не полной, то к ней приписывается необходимое количество нулей.
001 110 101
1 6 5 8
г) 111002 =?16
решение: 16 = 24, значит, разбиваем двоичное число на четверки цифр, = 1С16;
д) 1 0 0 1 1 02 =?10 = 1*25+0*24+0*23+1*22+1*21+0*20=32+4+2 = 38.
а5 а4 а3 а2 а1 а0