Позиционные системы счисления

Лекция 4. «Системы счисления»

Система счисления – это правила записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков – цифр.

Людьми использовались различные способы записи чисел, которые можно объединить в несколько групп: унарная, непозиционные и позиционные.

Две первые представляют скорее исторический интерес, поскольку имеют весьма ограниченное применение в настоящее время.

Унарная система счисления

Унарнаясистема счисления – это система счисления, в которой для записи чисел используется только один знак – 1 («палочка»).

Следующее число получается из предыдущего добавлением новой 1; их количество (сумма) равно самому числу.

Именно такая система применяется для начального обучения счету детей (можно вспомнить «счетные палочки»).

Другими словами, использование именно унарной системы оказывается важным педагогическим приемом для введения детей в мир чисел и действий с ними.

Непозиционные система счисления

Непозиционная система счисления - система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют сво­его значения в зависимости от местоположения (позиции) в изоб­ражении числа.

Из непозиционных наиболее распространенной можно считать римскую систему счисления.

В ней некоторые базовые числа обозначены заглавными латинскими буквами:

1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M.

Все другие числа строятся из комбинаций базовых, причем:

1. если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой;

2. если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются;

Запись чисел в такой системе громоздка и неудобна, но еще более неудобным оказывается выполнение в ней даже самых простых арифметических операций.

Наконец, отсутствие нуля и знаков для чисел больше M не позволяют римскими цифрами записать любое число (хотя бы натуральное). Используется эта система для нумерации.

Позиционные системы счисления

Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой цифры в изображении числа определяется ее положением (позицией) в ряду других цифр.

Упорядоченный набор символов (цифр) {а₀, a_v..., а_п), используемый для представления любых чисел в заданной позиционной си­стеме счисления, называют ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита р = п + 1 - ее основанием, а саму систему счисления называют р -ричной.

Основание позиционной системы счисления - количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Самой привычной для нас является десятичная система счисле­ния. Ее алфавит - {0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9}, а основание р = 10, т. е. в этой системе для записи любых чисел используется только десять разных символов (цифр). Десятичная система счисления основана на том, что 10 единиц каж­дого разряда объединяются в одну единицу соседнего старшего разряда, поэтому каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Сле­довательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10. Например, в изображении числа 222.22 цифра 2 повторяется 5 раз, при этом первая слева цифра 2 означает количество сотен (ее вес равен 10²); вторая - количество десятков (ее вес равен 10¹), третья - количество единиц (ее вес равен 10⁰), четвертая - количество десятых долей единицы (ее вес равен 10^-1) и пятая цифра - количество сотых долей единицы (ее вес равен 10 ^-2), т. е. число 222.22 может быть разложено по степеням числа 10:

222.22 = 2 • 10² + 2 •10¹ + 2 • 10° + 2 • 10^-1 + 2 • 10^-2.

Аналогично 725 = 7 • 10² + 2 • 10¹ + 5 • 10°;

1304.5 = 1 • 10³ + 3•10² + 0 • 10¹ + 4 • 10° + 5 • 10^-1,

50328.15 = 5 • 10⁴ + 0 • 10³ + 3 • 10² + 2 • 10¹ + 8 • 10° + 1 • 10 ^-1 + 5 • 10^-2.

В общем случае для задания р -ричной системы счисления необходимо определить основание р и алфавит, состоящий из р различ­ных символов (цифр) а_р i = 1,..., р.

Любое число X_p можно представить в виде поли­нома путем разложения его по степеням числа p:

(1)

последовательность из коэффициентов которого представляет со­бой сокращенную запись числа X_p:

(2)

Точка, отделяющая целую часть числа от дробной, служит для фиксации конкретных значений каждой позиции в этой последо­вательности цифр и является началом отсчета.