Важная особенность чисел состоит ещё в том, что целые числа можно представить точно в любой системе счисления. Поэтому дальнейшие рассуждения касаются только дробной части чисел.
Не всякое число может быть точно представлено в выбранной системе счисления.
Например, в десятичной системе счисления невозможно точно записать значение дроби 1/3. В десятичной системе счисления эту дробь обычно записывают так: 0.333333(3). При этом тройка в скобках означает, что она дальше повторяется бесконечное количество раз. Но для практических целей обычно можно записать число просто с определённой точностью. Например, можно записать так: 0.333333. Но при этом нужно понимать, что 1/3 не равно 0.333333. Собственно, когда мы берём и вычёркиваем некоторые наиболее младшие разряды – мы вносим ошибку.
При этом следует отметить, что не во всякой системе счисления число 1/3 невозможно представить точно. Например, в троичной системе счисления 1/3 равно 0.13 в точности.
Примеров чисел, которые в одной системе можно представить точно, а в другой нельзя – очень много. Например, 0.610 – в десятичной системе это точное число. А вот если мы захотим перевести его в двоичную систему счисления, то получим 0.10011001100110011001100110011001(1001)2. То есть, невозможно точно записать число 0.610 в двоичной системе счисления без использования бесконечной дроби.
На практике мы обычно округляем до какого-то определённого количества знаков после запятой – именно в этот момент мы вносим ошибку.
Точность и чёткость
Первое, что нужно понять, когда мы имеем дело с разными числами, это отличия между точностью и чёткостью.
Когда речь идёт о числах, то речь всегда идёт о каком-нибудь количестве.
При этом, с одной стороны, как мы говорили выше, не всегда возможно записать это количество абсолютно точно – так или иначе возникает погрешность из-за того, что не все числа возможно записать в выбранной системе счисления. Но у погрешности могут быть и другие причины. Простейший пример: Вы можете просто не знать точного значения либо используемая Вами формула по своему определению не даёт точного результата. Во втором случае сколько цифр не дописывай, точность не повысится. В отличие от первого случая – если точное значение известно, то достаточно всего лишь дописать ещё один младший разряд, и получится более точное значение.
Точность указывает на то, насколько близко Ваше число к реальному значению. Чёткость же относится только к представлению числа и в нашем случае чёткость равносильна количеству цифр в числе.
Значение может быть чётким, не будучи точным, и наоборот. Например, простая цифра 3 является точным представлением числа «Пи» с точностью до одной цифры, но чётким такое представление не является. С другой стороны, число 3.87882 обладает большей чёткостью, но точность у этого числа меньше.
Точность очень часто подменяют чёткостью. Например, могут написать так: «для выполнения этого проекта потребуется 132.2456 часа». Это очень чёткое значение, но, скорее всего, точность оценки времени выполнения проекта не соответствует заявленной чёткости – в реальности может оказаться, что потребуется 132.2456 плюс-минус 10 часов. В таком случае, чтобы не вводить в заблуждение излишней чёткостью, имеет смысл округлить до десятков часов и вместо очень чёткого числа написать менее чёткое, но зато не создающее ошибочное впечатление высокой точности числа: «для выполнения проекта потребуется 130 часов».
Ещё один известный пример подмены точности чёткостью – это расписание движения поездов. Эти расписания обычно обладают чёткостью до одной минуты, но при этом расписания часто оказываются не очень точными.
С другой стороны, известны и немногочисленные обратные примеры – когда точностью жертвовали ради того, чтобы повысить чёткость. Например, согласно первому измерению высоты Эвереста, которое было сделано в 1856 году, высота вершины составляла ровно 29000 футов (8839 м). Но при этом было объявлено, что высота Эвереста составляет 29002 фута (8840 м). Это произвольное добавление было сделано, чтобы из-за круглого числа 29000 не возникло впечатление, что точность измерений невысока.
При переводе чисел между различными системами счисления следует различать точность и чёткость.
Точность перевода – это насколько точно полученное число в новой системе счисления соответствует исходному числу. При этом ошибка в точности может возникнуть из-за того, что мы округлили число в новой системе счисления, использовав какое-то фиксированное (а не бесконечное) количество разрядов.
Чёткость перевода – грубо говоря, это просто количество цифр, которые Вы получили после перевода числа из одной системы счисления в другую. Если точность уже потеряна из-за округления, то дальше, сколько не повышай чёткость, точность не увеличится.