Коэффициенты при неизвестных и грузовые коэффициенты DiP системы канонических уравнений – возможные перемещения от единичных сил и нагрузки. У них есть два индекса. Первый индекс i указывает на направление, а второй индекс j (или P) – на причину перемещения.
Методику вычисления этих коэффициентов рассмотрим на примере условной статически неопределимой системы (рис. 7.4 а) и ее основной системы (рис. 7.4 б).
Рис. 7.4
Для определения коэффициентов рассмотрим два состояния ОС:
1) i -ое единичное состояние – воздействие силы Xi=1 (рис. 7.4 в);
2) j -ое единичное состояние – воздействие силы Xj=1 (рис. 7.4 г).
Если в этих состояниях возникают внутренние усилия , , и , , , то возможная работа внутренних сил i -го состояния на деформациях j -го состояния будет:
–Vij= dx.
С другой стороны, возможная работа внешних сил i -го состояния на перемещениях j -го состояния равна
Wij=1×dij=dij.
По принципу возможных перемещений Wij=–Vij. Приравнивая их получаем формулу для вычисления коэффициентов при неизвестных:
dij= dx.
Теорема Максвелла. Перемещение в i-ом направлении от единичной силы в j-ом направлении равна перемещению в j-ом направлении от единичной силы в i-ом направлении, т.е. dij=dji.
Доказательство. Возможную работу сил i -го единичного состояния (рис. 7.4 в) на перемещениях j -го состояния (рис. 7.4 г) мы уже знаем: Wij=dij. А возможная работа сил j -го состояния на перемещениях i -го состояния равна Wji=1×dji=dji. По теореме Бетти Wij=Wji. Следовательно, dij=dji.
Эта теорема позволяет уменьшать объем вычислений при нахождении боковых коэффициентов системы канонических уравнений.
Теперь выведем формулу вычисления грузовых коэффициентов.
Вначале определим возможную работу сил i -го единичного состояния (рис. 7.4 в) на перемещениях грузового состояния (рис. 7.4 д):
WiP=1×DiP=DiP.
С другой стороны, возможная работа внутренних сил , , i -го единичного состояния на деформациях грузового состояния равна
–ViP= dx.
По принципу возможных перемещений WiP= –ViP. Приравнивая их получим формулу вычисления грузовых коэффициентов: DiP= dx.
Так как в рамах и балках перемещения определяются в основном изгибными деформациями, то коэффициенты канонических уравнений можно вычислять по сокращенным формулам:
= dx= ,
= dx= ,
где знак используется для сокращения записи формулы вычисления интеграла Мора и означает условное «произведение» двух эпюр.
В о п р о с ы
1. В чем состоит отличие статически неопределимых систем от статически определимых систем?
2. Как определяется число лишних связей статически неопределимой системы?
3. Каким требованиям должна удовлетворять основная система?
4. В чем заключается физический смысл канонических уравнений метода сил?
5. Чем отличается вычисление коэффициентов при неизвестных от вычисления грузовых коэффициентов?
6. Какое преимущество дает использование теоремы Максвелла?
Л е к ц и я 8
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ (продолжение)