Для этого следует исключить перемещения узла введением дополнительных связей и по таблице метода перемещений определить возникающие реакции во введенных связях (рис. 12.2 г). Если эти реакции сложить и приложить в обратном направлении (рис. 12.2 д), получим величину эквивалентной нагрузки:
.
Теперь сравним три варианта расчета. Конечно, вариант б) дает точный результат. Однако он сложен для реализации. Вариант а) наиболее прост, но дает неточный результат. Поэтому в дальнейшем будем пользоваться вариантом в), вполне простым для использования и дающим вполне точный результат.
В качестве примера рассмотрим следующую раму (рис. 12.3 а) и выберем ее расчетную модель (рис. 12.3 б). Для переноса нагрузок P и q в двух элементах рамы в узлы расчетной модели воспользуемся таблицей метода перемещений. Соответствующие схемы показаны на рис. 12.3 в, г. Полученные реакции с обратным знаком переносим в узлы выбранной расчетной модели (рис. 12.3 б).
Рис. 12.3
Уравнения дискретного метода. Уравнение равновесия
Система уравнений, составляемая в дискретном методе, называется полной системой уравнений строительной механики. В нее входят три уравнения – уравнение равновесия (статики), геометрическое уравнение и физическое уравнение.
Составление уравнения равновесия основано на следующем рассуждении: если сооружение находится в равновесии, то его дискретная модель также находится в равновесии; следовательно, и отдельные элементы и узлы дискретной модели тоже находятся в равновесии.
В качестве примера рассмотрим ферму (рис. 12.4 а).
Рис. 12.4
Выберем дискретную модель фермы (рис. 12.4 б) и будем считать, что в ее элементах e1 и e2 возникают только продольные усилия. Поэтому, вырезав узел 1 (рис. 12.4 в), можно составить два уравнения равновесия узла как суммы проекций сил на направления перемещений узла u1 и u2:
,
.
Представим эти уравнения в матричной форме
и обозначим входящие сюда матрицы и вектора:
, 
, 
, 
.
В результате получим матричное уравнение
,
которое называется уравнением равновесия, а входящие в него величины имеют следующие названия: A – матрица равновесия, S – вектор усилий, P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор.
По матрице A можно установить некоторые особенности расчетной модели. Возможны три случая.
1. n = m (A – квадратная матрица размерности n x n). Если определитель матрицы A не равняется нулю (det A ¹ 0), расчетная модель сооружения статически определима и геометрически неизменяема. В этом случае усилия определяются непосредственно из этого уравнения:
.
Рассмотренная нами ферма является именно такой (n=m=2).
2. n< m. В этом случае система статически неопределима, а число m–n определяет степень ее статической неопределимости. Если ранг матрицы A равняется n, то такая система геометрически неизменяема.
3. n> m. Такая система геометрически изменяема.
В о п р о с ы
1. Какова сущность континуального подхода?
2. Что такое дискретный подход в механике?
3. Какова общая схема реализации различных методов расчета при дискретном подходе?
4. Как определяется дискретная модель стержневой системы?
5. Какой способ переноса нагрузки предпочтительнее и чем это обосновано?
6. Что такое уравнение равновесия и как оно получается?
7. Какие особенности расчетной модели можно установить по полученной матрице равновесия?
Л е к ц и я 13