(продолжение)
Геометрическое уравнение
Внешняя нагрузка приводит к деформации элементов сооружения, но при этом они не должны отрываться друг от друга. Это требование можно записать в виде уравнений совместности деформаций, отражающих геометрическую сторону задачи. Систему таких уравнений будем называть геометрическим уравнением.
Порядок составления геометрического уравнения изучим на примере рассмотренной в предыдущей лекции фермы (рис. 13.1 а).
Рис. 13.1
Пусть под действием нагрузки элементы фермы получают только продольные деформации (рис. 13.1 б). Деформацию (удлинение) первого элемента e1 можно определить по левой схеме на рис. 13.1 в:
.
Деформация второго элемента e2 определяется по правой схеме рис. 1.1 в:
(из-за сжатия e2 от перемещения 
первое слагаемое взято со знаком «–»).
Перепишем эти уравнения в виде
,
и представим в матричной форме
.
Это уравнение можно записать в виде
+ 
= 0, (1)
где 
и 
– вектора перемещений и деформаций, 
– связующая матрица. Так как 
– известная нам из предыдущей лекции матрица равновесия, то 
(символ t означает операцию транспонирования). Значит, при получении уравнения (1) можно обойтись без громоздких геометрических построений и воспользоваться известной матрицей 
.
Тогда уравнение (1) принимает вид
, 
которое и является искомым геометрическим уравнением.
Возможность использования одной и той же матрицы в двух уравнениях – в уравнении статики и в геометрическом уравнении – называется принципом двойственности.
Физическое уравнение
Изучим связь между деформациями и внутренними усилиями элементов расчетной модели стержневой системы.
Выбранная нами расчетная модель сооружения такова, что механические и геометрические характеристики ее отдельных элементов постоянны, а внешняя нагрузка действует только в узлах. В этом случае по нескольким конечным значениям усилий в элементах расчетной модели можно определять усилия во всех точках стержней.
В расчетных моделях плоской стержневой системы встречаются три типовых элемента: 1) элемент с двумя жесткими узлами, 2) элемент с шарнирным и жестким узлами, 3) элемент с двумя шарнирными узлами. При их рассмотрении введем следующие обозначения: er – некоторый элемент, r – номер этого элемента.
1) Элемент с двумя жесткими узлами (рис. 13.2 а). В нем продольная и поперечная силы постоянны, а Q можно выразить через начальный и конечный моменты элемента: 
.
2) Элемент с шарнирным и жестким узлами (рис. 13.2 б), в котором поперечную силу можно выразить через конечный момент: 
.
3) Элемент с двумя шарнирными узлами (рис. 13.2 в. В нем имеется лишь постоянная продольная сила N.
а) б)
в)
Рис. 13.2
Зависимость между внутренними усилиями и деформациями этих элементов может быть установлена через обобщенный закон Гука и записана в матричной форме
, (2)
где 
– матрица податливости элемента, связывающая вектор перемещений элемента 
с вектором усилий 
.
Например, в элементе 1-го типа связь между компонентами векторов перемещений 
и внутренних усилий 
выражается формулами (даются без вывода)
,
,
.
Если эти уравнения записать в матричной форме (2), то матрица податливости элемента первого типа будет
.
Для элемента второго типа имеем
, 
, 
.
Для элемента третьего типа
, 
, 
.
Теперь рассмотрим полную дискретную модель сооружения как состоящую из m элементов 
, 
,…, 
. Для всех этих элементов можно записать уравнения (2), связывающие вектора деформаций элементов 
с векторами усилий 
. Если же объединить эти уравнения в общую систему, а вектора деформаций и усилий отдельных элементов объединить в вектора 
и 
, то полученную систему уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения
= BS.
Оно, как устанавливающее связь между разными физическими величинами расчетной модели, называется физическим уравнением, где матрица
é 
û
называется матрицей податливости системы. Здесь знак é û означает диагональность матрицы.