Изучим колебания невесомой балки (рис. 16.7 а) с точечной массой m под действием динамической нагрузки . При учете только изгибных деформаций такую балку можно рассматривать как колебательную систему с одной динамической степенью свободы.
Уравнение колебаний массы определяется из условия динамического равновесия сил, действующих на нее (рис. 16.7 б):
J + R + R* – P = 0,
где – инерционная сила; R – сила упругости балки; R * – сила сопротивления среды движению массы. Так как при колебаниях система находится в движении, это уравнение называется уравнением движения.
Рис. 16.7
Силу упругости R можно определить двумя способами.
Вначале воспользуемся методом перемещений. Для этого в правом конце балки введем опору и дадим ей перемещение y, возникающее при колебании массы (рис. 16.7 в). Тогда реакция во введенной связи будет равна искомой силе упругости R. Для ее определения рассмотрим единичное состояние системы: введенной опоре дадим смещение y=1 (рис. 16.7 г) и вычислим реакцию (жесткость) r. В данном случае ее можно определить по таблице метода перемещений. Так как балка упругая, то R=ry. Если эту реакцию и силу инерции подставить в предыдущее уравнение, получим уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы в форме метода перемещений:
.
Во втором случае к концу балки приложим единичную силу. Она вызовет перемещение d (рис. 16.7 д), называемое податливостью. По теореме Бетти . Значит, r=1/d. Если подставить его в наше уравнение, затем поделить уравнение на m и ввести обозначение , получим уравнение колебаний системы с одной степенью свободы в форме метода сил:
.
Собственные колебания
Собственные колебания возникнут при P=0, R*=0. В таком случае уравнение колебаний примет вид
.
Его общее решение будет:
y=A sinw t + B cosw t.
Если сделать замены A=a cosj, B=a sinj, получим
y=a sin(w t+j).
Таким образом, собственные колебания являются гармоническими.
Определим их начальную фазу φ и амплитуду a. Пусть при t=0 известны начальное отклонение y0 и начальная скорость v0. Тогда
y0 =a sin φ, v0 = (0) = aω cos φ.
Из них имеем и .
Поэтому
, .
Следовательно,
, .
Если вес массы равен G, а ускорение свободного падения g, то G=mg. К тому же, вес G вызывает статический прогиб, определяемый по формуле yст=G×d. Поэтому имеем
.
Эти формулы позволяют найти частоту из решения статической задачи.
Из полученных формул вытекают следующие выводы:
1) начальная фаза и амплитуда зависят от начальных условий;
2) частота и период собственных колебаний системы не зависят от начальных условий;
3) при увеличении жесткости системы частота собственных колебаний возрастает, а при увеличении массы – уменьшается.
В о п р о с ы
1. Какие основные задачи решает динамика сооружений?
2. Чем отличается динамическая степень свободы от статической?
3. На какие три вида делятся колебания колебательных систем?
4. Какая разница между собственными и свободными колебаниями?
5. Как изменяется частота колебаний при изменении массы?
Л е к ц и я 17
ДИНАМИКА СООРУЖЕНИЙ (продолжение)