Линейная функция (линия регрессии)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3.

Обработка результатов эксперимента

Цель работы: Изучение возможностей пакета MS Excel при решении задач обработки экспериментальных данных. Приобретение навыков обработки результатов эксперимента.

Постановка задачи:

Одной из распространенных задач в науке, технике, экономике является аппроксимация экспериментальных данных, алгебраических данных аналитическими выражениями. Возможность подобрать параметры уравнения таким образом, чтобы его решение совпало с данными эксперимента, зачастую является доказательством (или опровержением) теории.

Рассмотрим следующую математическую задачу. Известные значения некоторой функции f образуют таблицу:

Таблица 3.1

Необходимо построить аналитическую зависимость y = f (x), наиболее близко описывающую результаты эксперимента. Построим функцию y = f (x, a₀, a₁,..., a_k) таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений y_i от расчетных f (x_i,a₀, a₁,..., a_k) была наименьшей (см. рис. 3.1).

Рис. 3.1 Графическая интерпретация метода наименьших квадратов.

Математически эта задача равносильна следующей: найти значение параметров a₀, a₁, a₂,...,a_k, при которых функция принимала бы минимальное значение.

Эта задача сводится к решению системы уравнений:

Если параметры a_i входят в зависимость y = f (x,a_o, a₁, …, a_k) линейно, то мы получим систему линейных уравнений:

Решив систему, найдем параметры a_o, a₁,..., a_k и получим зависимость y = f (x, a_o, a₁,..., a_k).

Линейная функция (линия регрессии)

Необходимо определить параметры функции y = ax+b. Составим функцию S:

Продифференцируем выражение для S по a и b, сформируем систему линейных уравнений, решив которую мы получим следующие значения параметров:

Подобранная прямая называется линией регрессии y на x, a и b называются коэффициентами регрессии.

Чем меньше величина

тем более обосновано предположение, что табличная зависимость описывается линейной функцией. Существует показатель, характеризующий тесноту линейной связи между x и y. Это коэффициент корреляции. Он рассчитывается по формуле:

Коэффициент корреляции r и коэффициент регрессии a связаны соотношением:

где Dy, Dx - среднеквадратичное отклонение значений x и y.

Значение коэффициента корреляции удовлетворяет соотношению -1 ≤ r ≤ 1. Чем меньше отличается абсолютная величина r от единицы, тем ближе к линии регрессии располагаются экспериментальные точки. Если коэффициент корреляции равен нулю, то переменные x, y называются некоррелированными. Если r = 0, то это только означает, что между x, y не существует линейной связи, но между ними может существовать зависимость, отличная от линейной.

Для того чтобы проверить, значимо ли отличается от нуля коэффициент корреляции, можно использовать критерий Стьюдента. Вычисленное значение критерия определяется по формуле:

Значение t сравнивается со значением, взятым из таблицы распределения Стьюдента в соответствии с уровнем значимости a и числом степеней свободы n-2. Если t больше табличного, то коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.

Квадратичная функция

Необходимо определить параметры функции y = a_o + a₁x + a₂x₂.

Составим функцию:

Для этой функции запишем систему уравнений:

(8.6)

Для нахождения параметров a_o, a₁, a₂ необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений.

Кубическая функция

Необходимо определить параметры многочлена третьей степени y = a_o + a₁ x + a₂ x₂ + a₃ x₃.

Составим функцию S:

Система уравнений для нахождения параметров a_o, a₁, a₂, a₃ имеет вид:

Для нахождения параметров a_o, a₁, a₂, a₃ необходимо решить систему четырёх линейных алгебраических уравнений.

Если в качестве аналитической зависимости выберем многочлен k -й степени y = a_o+a₁x+...+a_k x^k, то система уравнений для определения параметров a_i принимает вид: