Определение 3.2. Функция 
называется дифференцируемой в точке 
, если ее приращение 
в этой точке можно представить в виде
, (3.4)
где 
- некоторое число, не зависящее от 
, а 
- функция аргумента 
, являющаяся бесконечно малой при 
, т.е. 
.
Равносильность дифференцируемости функции в точке и существования в этой точке конечной производной данной функции устанавливает следующая теорема.
Теорема 3.1. Для дифференцируемости функции в точке необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция дифференцируема в точке , т.е. ее приращение в этой точке можно представить в виде (3.4). Поделим равенство (3.4) на (при 
), получим 
.
Переходя к пределу при 
имеем 
Отсюда следует, что производная в точке существует и равна A: 
Достаточность. Пусть существует конечная производная 
, т.е. 
Пусть 
; тогда функция 
является бесконечно малой при 
Из последнего равенства имеем 
где 
Получено представление (3.4), тем самым доказано, что функция дифференцируема в точке .
Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной - понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.
Определение 3.3. Функцию, дифференцируемую в каждой точке открытого множества 
, называют дифференцируемой на множестве 
.
Например, функция 
дифференцируема в любой точке множества 
.
Пример. Доказать, что функция 
не дифференцируема в точке 
Решение. Производная функции (если она существует) равна 
Очевидно, что при 
производная не существует, так как отношение 
равно 1 при 
и
-1 при 
, т.е. не имеет предела при 
(ни конечного, ни бесконечного). Геометрически это означает отсутствие касательной к кривой в точке (рис. 3.8).
 |
Рис. 3.8
Следущая теорема устанавливает связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
Теорема 3.2. Если функция 
дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке , то ее приращение в этой точке может быть представлено соотношением (3.4). Тогда, переходя к пределу при , получаем
что и означает непрерывность функции в точке , согласно определению непрерывности функции в точке.
Обратная теорема не верна, т.е. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Так, функция 
непрерывна в точке 
, так как 
(рис. 3.8), но, как было доказано, не дифференцируема в этой точке.
Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции.
В математике известны непрерывные функции, но не дифференцируемые ни в одной точке.
Замечание. Производная непрерывной функции не обязательно непрерывна. Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке X, то функция называется гладкой на этом промежутке. Если же производная функции допускает конечное число точек разрыва (причем, первого рода), то такая функция на данном промежутке называется кусочно - гладкой.