Среднее квадратическое отклонение вычисляем по формуле:
Cреднеквадратическое отклонение среднего арифметического значения результата измерения определяется по формуле:
2.4 Обнаружение и исключение промахов из результата измерений. Вычисляем критерии Граббса G1 и G2, предполагая, что наибольший xтах
или наименьший xmin результат измерений вызван грубыми погрешностями:
По таблице П1 приложений определяем табличное значение критерия Граббса при уровне значимости q = 0,05: GT = 2,709.
Так как G1 < GT и G2 < GT, принимаем, что все результаты измерений должны быть сохранены в ряду результатов.
Критерий Ирвина. Определяем значения критерия Ирвина по форму-
лам:
По таблице П2 приложений определяем табличное значение критерия Ирвина при уровне значимости q = 0,05: λT = 1,3.
Так как λ1 < λT и λ2 < λT, принимаем, что результаты измерений не со-держат грубые погрешности.
Критерий Романовского. Определяем значения критерия Романовского для xmin = 19,99 и xmax = 22,44:
По таблице П3 приложений определяем табличное значение критерия Романовского при уровне значимости q = 0,05: βТ = 2,78.
Так как β < βТ принимаем, что результаты xmin = 19,99 и xmax = 22,44 не являются грубыми погрешностями.
Критерий Райта. Проверяем результаты xmin = 19,99 и xmax = 22,44 на возможность грубой погрешности.
Результаты xmin = 19,99 и xmax = 22,44 являются достоверными.
Критерий Диксона. Рассчитываем коэффициенты Диксона:
По таблице П5 приложений определяем табличное значения критерия Диксона при уровне значимости q = 0,05: rq = 0,450. Так как выполняются условия:
и,
считаем, что рассматриваемая совокупность не содержит грубых погрешно-стей.
2.5 Проверка гипотезы о принадлежности результатов измерений нор-мальному распределению.
При числе результатов измерений 15 ≤ n ≤ 50 нормальность распреде-ления проверяют с помощью составного критерия.
Для расчета составного критерия составляем вспомогательную таблицу
8.
Таблица 8 – Расчет составного критерия
| xi | xi | |||||||
| 19,97 | -0,97 | 0,97 | 0,94 | 20,89 | -0,05 | 0,05 | 0,00 | |
| 19,97 | -0,97 | 0,97 | 0,94 | 20,91 | -0,03 | 0,03 | 0,00 | |
| 20,08 | -0,86 | 0,86 | 0,74 | 20,99 | 0,05 | 0,05 | 0,00 | |
| 20,18 | -0,76 | 0,76 | 0,58 | 21,22 | 0,28 | 0,28 | 0,08 | |
| 20,25 | -0,69 | 0,69 | 0,48 | 21,24 | 0,3 | 0,3 | 0,09 | |
| 20,46 | -0,48 | 0,48 | 0,23 | 21,57 | 0,63 | 0,63 | 0,40 | |
Продолжение таблицы 8
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 20,6 | -0,34 | 0,34 | 0,12 | 21,66 | 0,72 | 0,72 | 0,52 |
| 20,68 | -0,26 | 0,26 | 0,07 | 21,74 | 0,8 | 0,8 | 0,64 |
| 20,79 | -0,15 | 0,15 | 0,02 | 22,28 | 1,34 | 1,34 | 1,80 |
| 20,81 | -0,13 | 0,13 | 0,02 | 22,43 | 1,49 | 1,49 | 2,22 |
| Σ =11,3 | Σ =9,87 | ||||||
Критерий 1. Вычисляем смещенное среднеквадратическое отклонение
*:
Определяем отношение:
По таблице П6 приложений определяем квантили распределения при уровне значимости q = 0,05:
Так как выполняется условие
считаем, что результаты измерений в ряду распределены нормально. Критерий 2. По таблице П7 приложений для числа измерений n = 20
при q = 0,05 находим P = 0,98. По таблице П8 приложений для P = 0,98 нахо-
дим: тогда:
Из таблицы 8 находим, что наибольшая разность т.е.
Таким образом, проверка по составному критерию показывает, что ре-зультаты измерений распределены нормально.
2.6 Доверительные границы случайной погрешности.
По таблице П12 приложений для доверительной вероятности Р = 0,95 определяем критическое значение коэффициента Стюдента: tP = 2,093.
Абсолютная ошибка:
Нижняя доверительная граница:
н
Верхняя доверительная граница
в
Доверительный интервал:
в н
2.7 Форма записи оценки измеряемой величины Результат измерений записывается в виде:
что означает: результат измерений с вероятностью 0,95 находится в интерва-ле от 20,61 мм до 21,27 мм.
3 ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ ПРИ n > 50
3.1 Результаты прямых многократных измерений представлены в таб-лице 9.
Таблица 9 – Результаты измерений (пример)
| № п.п | Результаты из- | № п.п | Результаты из- | № п.п | Результаты из- | |
| мерений, мм | мерений, мм | мерений, мм | ||||
| 19,33 | 19,94 | 20,29 | ||||
| 19,36 | 19,95 | 20,3 | ||||
| 19,38 | 19,95 | 20,35 | ||||
| 19,4 | 19,96 | 20,4 | ||||
| 19,61 | 20,02 | 20,4 | ||||
| 19,65 | 20,03 | 20,4 | ||||
| 19,66 | 20,05 | 20,43 | ||||
| 19,68 | 20,06 | 20,46 | ||||
| 19,7 | 20,07 | 20,47 | ||||
| 19,71 | 20,11 | 20,51 | ||||
| 19,74 | 20,12 | 20,51 | ||||
| 19,82 | 20,12 | 20,69 | ||||
| 19,83 | 20,2 | 20,71 | ||||
| 19,87 | 20,21 | 20,73 | ||||
| 19,87 | 20,25 | 20,75 | ||||
| 19,88 | 20,25 | 20,76 | ||||
| 19,88 | 20,28 | 20,85 |
3.2 Исключение систематических погрешностей результатов измере-
ний.
Переменную систематическую погрешность выявляем и исключаем графическим методом c использованием табличного процессора EXCEL в следующей последовательности.
В ячейки А3:А53 вводим порядковые номера результатов наблюдений «протягиванием»: в ячейку А3 записываем 1, в ячейку А4 – 2, выделяем эти ячейки, наводим указатель мышки на черный квадратик в нижнем правом
углу и тянем его при нажатой левой клавише мышки до требуемой ячейки. В ячейки В3:В53 вводим результаты измерений по данным своего варианта.
Выделяем ячейки А3:В53, с помощью команд «Встав-ка»→«Точечная»→«Точечная с прямыми отрезками и маркерами» на панели инструментов строим график зависимости результатов наблюдений от времени (линия «исходные данные», рис. 3).
Полученный график редактируем: с помощью команды «Формат» уста-навливаем рекомендуемые размеры: по высоте – 12 см, по ширине – 15 см; ус-танавливаем параметры осей: команды «Макет»®«Оси»→«Основная горизон-тальная ось»→«Дополнительные параметры основной горизонталь-ной»→«Цвет линии» - сплошная черная, «Тип линии» - ширина 1,5 пт, анало-гично форматируется и вертикальная ось; устанавливаем фиксированные зна-чения параметров осей – «Макет»®«Оси»→«Основная горизонтальная ось»→«Дополнительные параметры основной горизонтальной»®«параметры оси»®«минимальное значение» - 0, «максимальное значение» - 50, «цена ос-новных делений» - 5, «цена промежуточных делений» - 1, аналогично форма-тируем вертикальную ось; указываем вертикальные и горизонтальные линии сетки – «Макет»®«Сетка»®«Вертикальные линии сетки по основной оси»®«Основные линии сетки»; указываем названия осей – «Макет»® «На-звания осей».
Выделяем точки на диаграмме, нажимаем на правую клавишу и в поя-вившемся окне выбираем команду «Добавить линию тренда». Для выявления наиболее точно согласующейся с опытными данными функции поочередно выбираем линейную и полиномиальную линии тренда. При выборе аппрокси-мирующей функции отмечаем ячейки «показывать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации».
Выбираем аппроксимирующую функцию, имеющую наибольшую ко-эффициент достоверности - полиномиальную функцию второй степени:
По величине достоверности аппроксимации R2 = 0,888 принимаем, что
в результатах измерений присутствует систематическая ошибка. Отредактированный график копируем в документ Word – пояснитель-
ную записку (рис. 3).
| мм | ||||||||||||
| 1 - y = 0,0336x + 18,01 | 2 - y = 0,0051x2 - 0,2309x + 20,347 | |||||||||||
| x, | R² = 0,1789 | R² = 0,8883 | ||||||||||
| , | ||||||||||||
| измерений | ||||||||||||
| Результаты | ||||||||||||
| Порядковый номер результата измерений, n | ||||||||||||
| исходные данные | 1 - линейная | 2 - полиномиальная | ||||||||||
| Рис. 3. Выбор аппроксимирующей функции |
Для исключения систематических погрешностей в результаты измере-ний вводим поправку, определяемую по формуле:
где xp – расчетное значение результата измерений, определенное по ап-проксимирующей функции.
Исправленный результат измерений определяется по формуле:
Для вычислений исправленного результата составляем в EXCEL вспо-могательную таблицу (табл. 10). Расчетные значения результатов измерений вычисляем по определенной выше аппроксимирующей функции, для чего в ячейку С3 вводим формулу аппроксимирующей функции в виде «=0,00512*A3^2-0,2309*A3+20,347». После нажатия клавиши «Enter» в ячей-
ке С3 получаем расчетный результат. Протягиванием этой ячейки получаем результаты в ячейках С4:С53. По приведенным выше формулам находим значение поправки, для чего в ячейку D3 введем формулу «=С4-20,14». По-сле нажатия клавиши «Enter» в ячейке D3 получаем результат. Протягивани-ем этой ячейки заполняем ячейки D4:D53. Аналогично находим значения ис-правленного результата, для чего в ячейку E3 вводим формулу «=B3-D3», нажимаем «Enter» и протягиванием этой ячейки заполняем ячейки E4:E53. Полученную таблицу копируем в пояснительную записку и оформляем в со-ответствии с примером (таблица 10).
В дальнейших расчетах используем исправленные результаты.
Таблица 10 – Исключение переменной систематической погрешности
| Порядковый | Исходный ре- | Расчетное зна- | Исправленный | ||
| номер резуль- | зультат изме- | чение результа- | Поправка | ||
| результат x и i | |||||
| тата ni | рений xi | та xpi | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| 20,43 | 20,14 | 0,00 | 20,43 | ||
| 20,49 | 19,92 | -0,22 | 20,71 | ||
| 20,32 | 19,71 | -0,43 | 20,75 | ||
| 19,88 | 19,51 | -0,63 | 20,51 | ||
| 19,14 | 19,33 | -0,81 | 19,95 | ||
| 18,41 | 19,15 | -0,99 | 19,40 | ||
| 18,22 | 18,98 | -1,16 | 19,38 | ||
| 18,43 | 18,83 | -1,31 | 19,74 | ||
| 18,15 | 18,68 | -1,46 | 19,61 | ||
| 18,53 | 18,55 | -1,59 | 20,12 | ||
| 18,63 | 18,42 | -1,72 | 20,35 | ||
| 18,28 | 18,31 | -1,83 | 20,11 | ||
| 18,13 | 18,21 | -1,93 | 20,06 | ||
| 18,38 | 18,11 | -2,03 | 20,41 | ||
| 18,18 | 18,03 | -2,11 | 20,29 | ||
| 18,12 | 17,96 | -2,18 | 20,30 | ||
| 18,16 | 17,89 | -2,25 | 20,41 | ||
| 17,82 | 17,84 | -2,30 | 20,12 | ||
| 17,71 | 17,80 | -2,34 | 20,05 | ||
| Продолжение таблицы 10 | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||
| 17,66 | 17,77 | -2,37 | 20,03 | |||
| 17,27 | 17,75 | -2,39 | 19,66 | |||
| 17,56 | 17,74 | -2,40 | 19,96 | |||
| 17,31 | 17,74 | -2,40 | 19,71 | |||
| 17,55 | 17,75 | -2,39 | 19,94 | |||
| 17,33 | 17,77 | -2,37 | 19,70 | |||
| 17,53 | 17,80 | -2,34 | 19,87 | |||
| 17,53 | 17,84 | -2,30 | 19,83 | |||
| 18,16 | 17,90 | -2,24 | 20,40 | |||
| 18,29 | 17,96 | -2,18 | 20,47 | |||
| 18,29 | 18,03 | -2,11 | 20,40 | |||
| 18,66 | 18,12 | -2,02 | 20,68 | |||
| 18,14 | 18,21 | -1,93 | 20,07 | |||
| 19,02 | 18,31 | -1,83 | 20,85 | |||
| 18,8 | 18,43 | -1,71 | 20,51 | |||
| 19,18 | 18,55 | -1,59 | 20,77 | |||
| 19,28 | 18,69 | -1,45 | 20,73 | |||
| 18,95 | 18,83 | -1,31 | 20,26 | |||
| 18,73 | 18,99 | -1,15 | 19,88 | |||
| 18,85 | 19,16 | -0,98 | 19,83 | |||
| 18,84 | 19,33 | -0,81 | 19,65 | |||
| 18,74 | 19,52 | -0,62 | 19,36 | |||
| 19,27 | 19,72 | -0,42 | 19,69 | |||
| 19,12 | 19,93 | -0,21 | 19,33 | |||
| 20,32 | 20,15 | 0,01 | 20,31 | |||
| 20,71 | 20,38 | 0,23 | 20,48 | |||
| 20,5 | 20,61 | 0,47 | 20,03 | |||
| 20,6 | 20,86 | 0,72 | 19,88 | |||
| 20,86 | 21,12 | 0,98 | 19,88 | |||
| 21,2 | 21,40 | 1,26 | 19,95 | |||
| 21,89 | 21,68 | 1,54 | 20,35 | |||
| 21,53 | 21,97 | 1,83 | 19,70 | |||