Перечень вопросов для подготовки к экзамену. 2. Основные элементарные функции, их свойства и график.




1. Множество вещественных чисел. Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции.

2. Основные элементарные функции, их свойства и график.

3. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. (Единственность предела ч.п. с доказательством)

4. Критерий Коши (с доказательством). Арифметические свойства пределов. Переход к пределу в неравенстве. Существование пределов монотонной ограниченной последовательности.

5. Предел в функции в точке (по Коши, по Гейне; теорема об эквивалентности определений с доказательством) и на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Эквивалентные бесконечно малые. Замена переменных при вычислении предела функции (Теорема с доказательством). Свойства предела функции. Предельный переход в неравенствах. Теорема о предельном переходе с доказательством (об ограниченности одной функции другой при предельном переходе)

6. Односторонние пределы (теорема о существовании односторонних пределов с доказательством). Пределы монотонных функций. Замечательные пределы (с доказательством). Критерий Коши о существовании предела функции в т. (с доказательством)

7. Непрерывность функции в точке и на бесконечности. Локальные свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Непрерывность элементарных функций.

8. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их классификация.

9. Сравнение функций. Символы о и О. Эквивалентные функции.

10. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, промежуточных значений. (Теорема Коши о существовании корня с доказательством, теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях с доказательством, теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке с доказательством, теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении непрерывной функции на отрезке с доказательством). Теорема о сложной функции, об обратной функции.

11. Понятие о равномерной непрерывности.

12. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Производная функции, ее смысл в различных задачах. Теорема об ограниченности дифференцируемой функции с доказательством. Критерий дифференцируемости - существование производных, с доказательством.

13. Дифференциал функции его геометрический смысл.

14. Правила нахождения производной и дифференциала. Производная сложной и обратной функции. Теорема о существование производной сложной функции, обратной функции с доказательством.

15. Инвариантность формы дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически (с доказательством). Логарифмическая производная (показать/доказать).

16. Точки экстремума функции. Теорема Ферма (с доказательством).

17. Теоремы Ролля (с доказательством), Лагранжа (с доказательством), Коши (с доказательством), их применение.

18. Правило Лопиталя (одна из теорем с доказательством).

19. Производные и дифференциалы высших порядков.

20. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и в форме Лагранжа (с доказательством). Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений.

21. Условия монотонности функции, достаточное условие (с доказательством). Экстремумы функции, необходимое условие (с доказательством). Достаточные условия (для дифференцируемой функции и дважды дифференцируемой функции с доказательством). Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке.

22. Исследование выпуклости функции. Достаточное условие выпуклости (с доказательством). Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия существования точки перегиба. Достаточное условие существования точки перегиба для трижды дифференцируемой функции (с доказательством). Точка перегиба и касательная, геометрический смысл.

23. Асимптоты функции, теорема (с доказательством). Понятие об асимптотическом разложении.

Общая схема исследования функции и построение ее графика.

24. Пространство . Основные неравенства (с доказательством). Последовательности, необходимое и достаточное условие существования предела последовательности в (с доказательством).

Множества в :открытые, замкнутые, ограниченные, линейно связные, выпуклые. Компактность. Теорема о точке прикосновения (с доказательством). Свойства замкнутых множеств. Прямые и кривые в .

25. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Функции, непрерывные на компактах. Промежуточные значения непрерывных функций на линейно связных множествах.

26. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными производными. Частные производные сложных функций, теорема (с доказательством). Смешанные производные, теорема о смешанных производных (с доказательством). Инвариантность формы дифференциала. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.

27. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

28. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

29.Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.

30. Производная по направлению. Градиент. Дивергенция. Ротор.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-26 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: