И 2-ого рода зависит от того по какому пути он берётся, если начальнаяи конечная точки одинаковые, если знач. Кр И равны между собой соед. Начальную и конечную точки инт., то говорят,что интеграл не зависит от пути интегрирования.
Теорема 1 Для того чтобы Кр И по прямой L 
не зависит от пути интегрирования в некоторой области Д необходимым и достаточным, чтобы он по любому замкнутому контуру 
Д был равен 0
Необходимость. Интеграл не зависит от пути интегрирования. Доказать. 
Достаточность. Не зависит от пути интегрирования 
ПИ-2, определение, вычисление, связь с ПИ-1, физический смысл
Вычисление ПИ-2сводится к вычислению ДИ по плоской области являющейся проекцией поверхности 
(знак + если угол между поверхностью и нормалью острый)
Физический смысл поверхностный интеграл 2-го рода представляет собой поток векторного поля 
через выбранную сторону поверхности S.
Связь 
,
И П-1 = И П-2
Формула Стокса
Пусть поверхность S ограничена кусочно-гладким контуром L (рис. 3.14).
Пусть функции: P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) – непрерывно дифференцируемы на поверхности S.
Тогда имеет место формула Стокса:
Формула Остроградского-Гаусса
Теорема: Если функции Q(x,y,z); P(x,y,z); R(x;y;z) непрерывны вместе со своими частными производными 1-ого порядка в области V, то имеет место формула:
Интегрирование производится по внешней стороне поверхности.
Скалярное поле. Линии и поверхности уровня скалярного поля. Производная по направлению.
Скалярное поле. Если каждой точке 
пространства ставится в соответствие скалярная величина 
, то возникает скалярное поле (например, поле температуры, поле электрического потенциала). Если введены декартовы координаты, то обозначают также
или 
. Поле может быть плоским, если 
, центральным (сферическим), если 
, цилиндрическим, если 
.
Поверхности и линии уровня. Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это поверхности в пространстве, на которых 
принимает постоянное значение. Их уравнение: 
. В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение: 
. В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня в точки и кривые.
ПРИМЕР 1. Исследование скалярного поля с помощью линий уровня.
Производная по направлению и градиент скалярного поля. Пусть 
- единичный вектор с координатами 
, - скалярное поле. Производная по направлению характеризует изменение поля в данном направлении и вычисляется по формуле 
. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами 
, который называется градиентом функции и обозначается 
. Поскольку 
, где 
- угол между и , то вектор указывает направление скорейшего возрастания поля , а его модуль равен производной по этому направлению. Так как компоненты градиента являются частными производными, нетрудно получить следующие свойства градиента:
