Интегрирование вектор функции




Задачи, возникающие при интегрировании векторных функций, обычно параллельны соответствующим задачам (гл. Радона, которые рассматриваются как непрерывные линейные отображения пространства непрерывных функций в отделимое локально выпуклое пространство.

При доказательстве этого утверждения используются некоторые факты из теории интегрирования векторных функций, выходящие за рамки данной книги [3].

Известны и весьма подробно изучены также многие другие подходы к интегрированию векторных функций; некоторые из них основаны на более прямом определении интеграла как предела сумм.

Случай векторных функций и скалярных мер представляет собой не столь уж коренное обобщение в отличие от случая векторных мер и скалярных функций. Около 30 лет тому назад задача интегрирования векторных функций по скалярной мере была очень популярна.

Если q - скалярная функция, то метод отыскания ее среднего значения хорошо известен. Если же это векторная функция, то нам следует отыскивать ее среднее значение, руководствуясь правилами интегрирования векторных функций.

Теперь мы покажем, что некоторые хорошо известные замкнутые подпространства некоторых других банаховых пространств не дополняемы. Не дополняемость будет установлена с помощью одной довольно общей теоремы о компактных группах операторов, имеющих общее инвариантное подпространство; доказательство этой теоремы использует интегрирование векторных функций по мере Хаара.

Понятие производной вектор функции позволяет дать определение неопределенного интеграла.

Пусть даны две вектор-функции A (t) и B (t). Тогда B (t) называется неопределенным интегралом (первообразной) A (t), если = A(t) и обозначается как:

(2.1)

В, С - постоянный вектор (векторная константа) и это выражение следует понимать как три независимых интеграла от функций в какой-либо системе координат, в частности, в декартовой.

Градиент скалярной функции (декартова система координат):

(2.2)

Градиент скалярной функции имеет геометрическую интерпретацию, вытекающую из следующих рассуждений. Приращение при изменении r на d r = i dx+ j dy + k dz равно с учетом:

(2.3)

Рассмотрим далее две точки, лежащие на поверхности на расстоянии dr друг от друга. При перемещении из одной точки в другую dφ = 0 следовательно, на основании (2.3) gradϕ*dr = 0.

Отсюда gradϕ перпендикулярен поверхности ϕ = const в любой точке. Если рассмотреть случай, когда dr направлен от одной поверхности ϕ = c1 к соседней ϕ = c2, то dϕ = 4c = gradϕ*dr. Для данного dϕ, |dr| - минимален, если dr параллелен gradϕ. Следовательно, градиент скалярной функции есть вектор, указывающий направление максимальной скорости изменения функции ϕ.

Дивергенция вектора (декартова система координат):

(2.4)

Ротор вектора (декартова система координат):

(2.5)

Среди интегральных соотношений важнейшее значение для векторного анализа имеют две теоремы. Теорема Остроградского - Гаусса:

(2.6)

Здесь S -поверхность, ограничивающая объем V, n - нормаль к поверхности. Интеграл по поверхности (в общем случае не замкнутой) вида ʃ b*ds называется потоком вектора b через поверхность.

Вторая теорема - теорема Стокса:

ʃv (2.7)

где S - поверхность, опирающаяся на контур L.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. К. Боярчук, Г. П. Головач, «Дифференциальные уравнения в примерах и задачах»; Эдиториал УРСС, 2001.

2. А. Н. Тихонов, В. А. Ильин, А. Г. Свешников, «Дифференциальные уравнения», выпуск 7; «Наука», 1980.

3. А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев, Н. А. Тихонов, Т. А. Уразгильдина, «Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах»; ФИЗМАТЛИТ, 2003.

4. Бурбаки Н. Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления. М.: Наука, 1970. -320 с.

5. В. В. Степанов, «Курс дифференциальных уравнений».

6. Кириченко Б.И., Суетина Н.Л. Дифференцирование и интегрирование.Ульяновск: УлГТУ, 2002, - 32 с.

7. М.Л. Краснов. Вся высшая математика, 2012.

8. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович). (В 5-ти томах) Боярчук А.К. и др. Том 2. Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента.-2003, 224 с.

9. Справочное пособие по высшей математике (Антидемидович). (В 5-ти томах) Боярчук А.К. и др. Том 5. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах.-2001, 384 с.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: