Пусть дана функция. U=f(x,y,z) определенная и дифференцируема в некоторой области Д.
Градиентом функции наз вектор проекции которого на оси координат равны соответствующим частным производным.
grad U=(∂U/∂х)i+(∂U/∂у)j+(∂U/∂z)k
Своиства градиента: 1. Производная по направлению имеет МАХ значение в направлении совпадающем с градиентом.
1. Производная в направлении ⊥ градиенту равно 0.
2. Градиент ⊥ линиям уровня.
3. Док-во: U=u(x,y) тогда gradU=UX1i+UX1j тогда угловой коэф прямой совпад с градиентом будет равен. К1=tgα=(UY1/UX1)
4. Линией уровня наз линия на к-ой функция принимает постоянное значение u(x,y)=с. Геометрический смысл градиента состоит в том что градиент указывает направление наибольшего изменения фун.
Векторное поле, определение, векторные линии, труба
Векторное поле. Если каждой точке 
пространства ставится в соответствие вектор 
, то говорят, что задано векторное поле (поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности). В декартовой системе координат векторное поле можно записать в виде: 
. Скалярные функции 
однозначно определяют векторное поле. Векторное поле может быть плоским, если 
, сферическим, когда 
, 
, цилиндрическим, когда , 
.
ПРИМЕР 1. Исследование плоского векторного поля.
Векторные линии (линии тока). Для наглядного представления векторных полей используют векторные линии (линии тока). Это кривые, в каждой точке которых вектор 
является касательным вектором. Через каждую точку проходит одна линия тока. За исключением точек, где поле не определено или 
, линии тока никогда не пересекаются. В декартовых координатах дифференциальные уравнения линий тока имеют вид: 
Векторная трубка
Пусть 
— векторное поле, S — какая-нибудь площадка на этом поле. Проведём через границу этой площадки векторные линии. Образуемая при этом фигура называется векторной трубкой (при этом векторные линии, проходящие через S, целиком лежат внутри векторной трубки).
Поток векторного поля, его физический смысл
Понятие потока векторного поля удобно рассматривать на примере потока жидкости, движущейся через некоторую поверхность. Объем жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность, расположенную в движущейся жидкости, назовем потоком жидкости через эту поверхность.
Пусть поверхность S расположена в поле 
скоростей частиц несжимаемой жидкости с плотностью ρ = 1. Можно показать, что поток векторного поля в этом случае равен
где 
– единичный нормальный вектор к поверхности S, расположенный по одну сторону с вектором , а величина 
.
Независимо от физического смысла вектора интеграл (3.34) по поверхности называют потоком векторного поля через поверхность S.
Пусть 
и 
тогда поток П вектора через поверхность S можно записать в виде:
Или учитывая связь поверхностных интегралов первого и второго родов, можно записать поток П через поверхностный интеграл в координатах:
