Момент импульса и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматрива­ется аналогия между ними, только во вра­щательном движении вместо силы «вы­ступает» ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества дви­жения) материальной точки А относитель­но неподвижной точки О называется физи­ческая величина, определяемая векторным произведением:

L = [ rp | = [ r m v ],

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; p = m v — импульс ма­териальной точки (рис.28); L —псевдо­вектор, его направление совпадает с на­правлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p. Модуль вектора момента импульса

L = rp sinalfa =mvr sinalfa= pl,

где a — угол между векторами r и p, l — плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно не­подвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О дан­ной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого те­ла вокруг неподвижной оси z каждая от­дельная точка тела движется по окружно­сти постоянного радиуса r_i с некоторой

скоростью v_i. скорость v_i; и импульс m _iv_i

перпендикулярны этому радиусу, т. е. ра­диус является плечом вектора m_i v _i. Поэто­му можем записать, что момент импульса отдельной частицы

L_iz = т_iv_ir_i (19.1)

и направлен по оси в сторону, определяе­мую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела отно­сительно оси есть сумма моментов импуль­са отдельных частиц:

Используя формулу (17.1) v_i = wr_i, получим

т. е.

L_z = J_zw. (19.2)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе­нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

т. е.

dL_z/dt= M_z

Это выражение — еще одна форма урав­нения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место век­торное равенство

d L /dt= М. (19.3)

В замкнутой системе момент внешних сил М =0 и d L /dt=0, откуда

L = const. (19.4)

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: мо­мент импульса замкнутой системы сохра­няется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импуль­са — фундаментальный закон природы, Он связан со свойством симметрии про­странства — его изотропностью, т. е. с ин-

вариантностью физических законов отно­сительно выбора направления осей коор­динат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в простран­стве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохране­ния момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидя­щий на скамье, которая без трения враща­ется вокруг вертикальной оси, и держа­щий в вытянутых руках гантели (рис. 29), приведен во вращение с угловой скоро­стью w₁. Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы умень­шится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы со­храняется и угловая скорость вращения w₂ возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к тулови­щу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение те­ла вокруг неподвижной оси и его поступа­тельное движение (табл.2).

Свободные оси. Гироскоп

Для того чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением време­ни неизменным, используют подшипники, в которых она удерживается. Однако существуют такие оси вращения тел, кото­рые не изменяют своей ориентации в про­странстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными ося­ми (или осями свободного вращения). Можно доказать, что в любом теле су­ществуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называются главными осями инерции тела). Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллеле­пипеда проходят через центры противопо­ложных граней (рис. 30). Для однородно­го цилиндра одной из главных осей инер­ции является его геометрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоско­сти, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Главными осями инерции шара

являются любые три взаимно перпендику­лярные оси, проходящие через центр масс.

Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свобод­ных осей служит осью вращения.

Можно показать, что вращение во­круг главных осей с наибольшим и наи­меньшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом — неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, приведя его одновре­менно во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2 (рис. 30).

Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец, закреп­ленный к шпинделю центробежной маши­ны, привести в быстрое вращение, то па­лочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, пер­пендикулярной оси палочки и проходящей через ее середину (рис.31). Это и есть свободная ось вращения (момент инерции при этом положении палочки максималь­ный). Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свободной оси, освободить от внеш­них связей (аккуратно снять верхний ко­нец нити с крючка шпинделя), то положе­ние оси вращения в пространстве в тече­ние некоторого времени сохраняется. Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко при­меняется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы — массивные од­нородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси сим­метрии, являющейся свободной осью.

Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов — гироскоп на кардановом подвесе (рис.32). Дискообразное тело — гироскоп — закреплено на оси АА, кото­рая может вращаться вокруг перпендику­лярной ей горизонтальной оси ВВ, кото­рая, в свою очередь, может поворачивать­ся вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пересекаются в одной точке С, являю­щейся центром масс гироскопа и остаю­щейся неподвижной, а ось гироскопа мо­жет принять любое направление в про­странстве. Силами трения в подшипниках всех трех осей и моментом импульса колец пренебрегаем.

Так как трение в подшипниках мало, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (напри­мер, с помощью намотанной на ось вере­вочки) и поворачивать его подставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помощью основного закона динамики вращательного движения. Для свободного вращающегося гироскопа сила тяжести не может изменить ориентацию его оси вращения, так как эта сила при­ложена к центру масс (центр вращения С совпадает с центром масс), а момент силы тяжести относительно закрепленного центра масс равен нулю. Моментом сил трения мы также пренебрегаем. Поэтому если момент внешних сил относительно его закрепленного центра масс равен нулю, то, как следует из уравнения (19.3), L =

= const, т. е. момент импульса гироскопа сохраняет свою величину и направление в пространстве. Следовательно, вместе с ним сохраняет свое положение в про­странстве и ось гироскопа.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо, согласно (19.3), отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явле­ние, получившее название гироскопичес­кого эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось ги­роскопа (рис. 33) поворачивается вокруг прямой О₃О₃, а не вокруг прямой О ₂ О ₂, как это казалось бы естественным на первый взгляд (O ₁ O ₁и О ₂ О ₂лежат в плоскости чертежа, а О₃О₃ и силы F перпендикуляр­ны ей).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент М пары сил F направлен вдоль прямой О ₂ О ₂. За время dt момент импульса L гироскопа получит приращение d L = M dt (направление d L совпадает с направлением М) и станет рав­ным L' = L +d L. Направление вектора L ' совпадает с новым направлением оси вра­щения гироскопа. Таким образом, ось вра­щения гироскопа повернется вокруг пря­мой О₃О₃. Если время действия силы мало, то, хотя момент сил М и велик, изменение момента импульса d L гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не при­водит к изменению ориентации оси враще­ния гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Если ось гироскопа закреплена под­шипниками, то вследствие гироскопиче­ского эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироско­па. Их действие необходимо учитывать при конструировании устройств, содержа­щих быстровращающиеся массивные со­ставные части. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся си­стеме отсчета и являются частным случаем кориолисовой силы инерции (см. §27).

Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гироскопов — поддер­жание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порыва ветра и т. д.) положение оси ги­роскопа в пространстве сохраняется. Сле­довательно, ось гироскопа вместе с рама­ми карданова подвеса поворачивается от­носительно движущегося устройства. По­ворот рам карданова подвеса с помощью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.

Впервые гироскоп применен француз­ским физиком Ж. Фуко (1819—1868) для доказательства вращения Земли.