Геометрический смысл производной.

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.1. Дифференциальное исчисление.

Содержание:

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

2. Определение производной функции.

3. Дифференцируемая функция.

4. Геометрический и механический смысл производной.

5. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл.

6. Правила и формулы дифференцирования.

7. Производные элементарных функций.

8. Вторая производная и производные высших порядков.

9. Практическое занятие: Нахождение производных по алгоритму. Вычисление производных сложных функций.

10. Контрольная работа №1.

 

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

 

Получили неопределённость - т.е. предел может не существовать, может существовать и при этом быть конечным или бесконечным.

 

 

2. Определение производной функции.

 

3. Дифференцируемая функция.

 

 

4. Геометрический и механический смысл производной.

Геометрический смысл производной.

Механический смысл производной.

 

5. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл.

Дифференциалом функции y=f(x) в x₀ называется главная, линейная относительно , часть приращения функции.

.

Покажем, что и dy эквивалентные бесконечно малые при :

( бесконечно малая).

Геометрический смысл дифференциала:

Проведем к графику функции y=f(x) в точку M(x;y) касательную MT и рассмотрим ординату этой касательной для точки .

На рисунке ,

Из прямоугольного треугольника MAB имеем: , т.е. .

Но, согласно геометрическому смыслу производной, .

Поэтому или .

Это означает, что дифференциал функции y=f(x) в точке x₀ равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получает приращение .

 

6. Правила и формулы дифференцирования.

Обозначение производной , где – это любая функция.

1. , с – любое число.

Пример:

1. .

Пример:

Число, стоящее перед переменной всегда выносим за скобку и находим производную переменной.

1. 

Пример:

, т. к. сократим на 4.

1. 

Пример:

1. 

Пример:

Находим значение производной только там, где стоит знак производной, т.е. штрих.

1. 

Пример:

1. - производная сложной функции.

 

7. Производные элементарных функций.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

1. 

1. 

1. 

 

8. Вторая производная и производные высших порядков.

 

Механический смысл производной.

v(t) – мгновенная скорость.

v(t)=x^.(t) – Производная от координаты по времени есть скорость.

a(t) – ускорение движения.

a=v^.(t) – производная от скорости по времени есть ускорение.

Пример: /

Найти скорость и ускорение.

-8t

м/с, 22 м/с²

Производные высших порядков.

Производная функции есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то её производная называется производной второго порядка и обозначается .

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается

 

9. Практическое занятие: Нахождение производных по алгоритму. Вычисление производных сложных функций.

Геометрический смысл производной.

есть угловой коэффициент касательной к графику.

Пример: Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в его точке с абсциссой .

Следовательно

Уравнение касательной.

Пример: Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Решение:

1). Найдем производную:

2). Найдем значение производной в этой точке:

3). Найдем значение функции в точке .

4). Теперь подставим все найденные значения в уравнение касательной, получим:

- уравнение касательной.

Приближенные вычисления. Вычислять приближенное значение функции будем по формулам:Формула (1) Пример1: Вычислить приближенное значение функции в точке . Решение: близкая к ней точка . Найдем: . Найдем Вычислим По формуле (1) Пример2: Вычислить приближенное значение функции в точке . , По формуле (1) получим:

Приближенные вычисления. Формула (2) Пример3: Вычислить приближенное значение функции Пример4: Вычислить приближенное значение функции Формула (3) Пример5: Вычислить приближенное значение функции Пример6: Вычислить приближенное значение функции