Вопросы к экзамену по алгебру (III семестр 2011 года).
Раздел I. Морфизмы.
1. Теорема о блочно-ступенчатой матрице операторов. Теорема о блочно-диагональной матрице операторов.
2. Индуцированный оператор: определение, теорема.
3. Полный флаг подпространств: определение, теорема(о полном флаге).
4. Аннулирующие многочлены для вектора: теорема о существовании, минимальный аннулятор многочлена, свойства(8), теорема о расслоении вектора, примеры.
5. Аннулирующий многочлен для оператора: теорема о существовании, минимальный аннулирующий многочлен, свойства(9).
6. Теорема о расслоении №0. Примарные подпространства: определение, теорема.
7. Теорема о расслоении №1. Теорема о расслоении №3.
8. Собственное число как корень характеристического и минимального аннулирующего многочленов.
9. Циклические подпространства: определение, свойства(15).
10. Циклические подпространства. Теорема об инвариантных подпространствах циклического примарного подпространства.
11. Теорема Гамильтона-Келли.
12. Теорема о расслоении №2.
13. Корневой вектор корневого подпространства.
14. Корневой циклический базис. Теорема. Свойства подпространств Q(i).
15. Алгоритм «Схема с башнями» в общем виде. Свойства.
16. Теорема(дополняющая алгоритм «Схема с башнями»). Базис, реализованный алгоритмом «Схема с башнями».
17. Жорданова форма матрицы оператора(2 теоремы).
18. Рабочий алгоритм построения «Схемы с башнями» без наполнения.
19. Рабочий алгоритм построения «Схемы с башнями» с наполнением.
Раздел II. Обобщенная Жорданова форма.
20. Комплексификация вещественных пространств(до свойств сопряженности).
21. Свойства сопряженности(1-7).
22. Свойства сопряженности(8-14).
23. Минимальный аннулятор оператора расширения. «Схема с башнями» оператора расширения для вещественного собственного числа.
24. Обобщенная Жорданова форма. Теорема существования и единственности.
Раздел III. Евклидовы и унитарные пространства.
25. Скалярное произведение: определение, основные свойства, примеры.
26. Основы ортогональности: определение,элементарные свойства, ортогональный базис.
27. Теорема о разложении вектора в ортогональные составляющие. Метод ортогонализации Грама-Шмидта.
28. Ортогональное дополнение: определение, основные свойства(5).
29. Ортонормированный базис.
30. Ортогональная, унитарная матрицы.
31. Свойства сопряжения комплексных матриц, эрмитовы матрицы.
Раздел IV. Квадратичные формы.
32. Квадратичная форма: определение, ранг, свойства.
33. Линейное пространство квадратичной формы.
34. Унитреугольные матрицы.
35. Каноническая запись квадратичной формы. Теорема Лагранжа.
36. Теорема Якоби для квадратичных форм.
Раздел V. Эрмитовы формы.
37. Эрмитовы формы: определение, ранг, свойства.
38. Линейное пространство эрмитовых форм.
39. Каноническая запись эрмитовой формы. Теорема Лагранжа. Теорема Якоби.
40. Закон инерции эрмитовых форм. Отрицательно-определенные эрмитовы формы.
41. Положительно-определенные эрмитовы формы. Критерий Сильвестра.
42. Построение канонической записи эрмитовой формы с помощью унитарного преобразования.
43. Одновременное приведение двух эрмитовых форм к каноническому виду.
44. Экстремальные свойства эрмитовых форм.
Раздел VI. Приложение квадратичных форм.
45. Множества второго порядка в R(n). Центральный случай.
46. Множества второго порядка в R(n). Нецентральный случай.
Раздел VII. Дальнейшее развитие теории операторов в унитарном пространстве.
47. Оператор проектирования. Оператор ортогонального проектирования.
48. Полуобратный морфизм: определение, свойства, теорема существования.
49. Критерий полуобратного морфизма.
50. Полуобратный оператор. Коммутирующий полуобратный оператор.
51. Сопряженный оператор. Основные свойства сопряжения.
52. Нормальный оператор: определение, свойства(9), утверждения.
53. Критерий нормального оператора. Корень из нормального оператора.
54. Эрмитов оператор. Квадратный корень из положительно полуопределенного оператора.
55. Положительно определенные операторы. Полярное представление автоморфизма.
56. Теорема об унитарном операторе.
Раздел VIII. Операторы в Евклидовом пространстве.
57. Косоэрмитов оператор.
58. Сопряженный оператор: определение, теорема, алгоритм построения, свойства.
59. Нормальный оператор: определение, свойства(9), утверждения.
60. Комплексификация Евклидова пространства. Основные свойства.
61. Критерий нормального оператора. Корень четной степени из нормального оператора.
62. Эрмитов оператор. Положительно полуопределенный оператор.
63. Положительно-определенные операторы. Полярное представление автоморфизма. Теорема об ортогональном операторе.
64. Содержательная интерпретация эрмитова оператора и ортогонального операторов.
65. Содержательная интерпретация нормлаьного и косоэрмитова операторов.