В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Определенным интегралом (интегралом по Риману) называется предел интегральной суммы [2]: ,

если он не зависит от способа разбиения отрезка на части и от выбора точек Непрерывная на отрезке функция интегрируема.

Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница:

где - первообразная функции .

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Задание 4. В задачах 4.1 и 4.2 вычислите определенные интегралы, в задаче 4.3 вычислите несобственный интеграл по определению несобственного интеграла или докажите его расходимость.

4.1. 4.2. 4.3(1). ,

4.3(2). .

4. 1.

Решение.

Первый способ.

Подведем под знак дифференциала функцию sin :

Тогда получим

Второй способ.

Используем формулу замены переменной в определенном интеграле: если функция непрерывна на отрезке [a,b] и - функция, непрерывная вместе со своей производной на отрезке , где причем сложная функция определена и непрерывна на отрезке , то .

Введем новую переменную: Тогда: При

получим при получим Следовательно,

Ответ: .

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

где - дифференцируемые на отрезке функции.

4. 2.

Решение.

Для вычисления интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям. Положим Тогда и

Ответ:

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫПО БЕСКОНЕЧНОМУ ПРОМЕЖУТКУ (несобственные интегралы первого рода).

Пусть функция определена и интегрируема на любом отрезке [ ] . Несобственный интеграл функции по бесконечному промежутку обозначается и определяется как =

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а функция f(x) - интегрируемой в промежутке . Если предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяются и другие несобственные интегралы по бесконечным промежуткам:

, , где с – любое число.

4.3(1).

Решение.

Функция непрерывна на любом отрезке По определению несобственного интеграла имеем

Обозначим Тогда Интегрируя по частям, получим

Отметим, что

Ответ: несобственный интеграл сходится и его значение равно:

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ (несобственные интегралы второго рода).

Пусть функция непрерывна на промежутке и пусть Несобственный интеграл от неограниченной функции f(x) определяется как

, где

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а функция f(x) _ интегрируемой на отрезке Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся. Аналогично определяются и другие несобственные интегралы от неограниченных функций:

если функция f(x) непрерывна на промежутке и , то несобственный интеграл определяется так:

4.3(2). .

Решение.

Функция непрерывна на промежутке и . Согласно определению несобственного интеграла имеем

Ответ: несобственный интеграл расходится.

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР

В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

Площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми и непрерывными на отрезке кривыми , где , определяется формулой:

Если , то получим формулу для площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми и кривой : .

Задание 5. Изобразить области, ограниченные указанными кривыми. С помощью определенного интеграла найти: 5.1.- площадь области, 5.2.1.- объем тела вращения вокруг оси ОХ, 5.2.2. - вокруг оси ОУ.

5.1. 5.2(1). , ,